(1) 等差数列$\{a_n\}$において、第10項が50、第25項が-55であるとき、初項$a_1$を求め、また、初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_n$が最大になる$n$の値を求める。 (2) 等比数列$\{a_n\}$において、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{100} = 9009$, $S_{200} = 36036$であるとき、公比を$r$とすると、$r^{100}$の値を求め、また、$S_{300}$の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 等差数列$\{a_n\}$において、第10項が50、第25項が-55であるとき、初項$a_1$を求め、また、初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_n$が最大になる$n$の値を求める。

(2) 等比数列$\{a_n\}$において、初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_{100} = 9009$, $S_{200} = 36036$であるとき、公比を$r$とすると、$r^{100}$の値を求め、また、$S_{300}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n = a_1 + (n-1)d$と表す。

第10項が50なので、

$a_{10} = a_1 + 9d = 50$

第25項が-55なので、

$a_{25} = a_1 + 24d = -55$

これらを連立方程式として解く。

2式を引き算すると、

$(a_1 + 24d) - (a_1 + 9d) = -55 - 50$

$15d = -105$

$d = -7$

$a_1 + 9(-7) = 50$

$a_1 - 63 = 50$

$a_1 = 113$

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

$S_n = \frac{n}{2}(2(113) + (n-1)(-7))$

$S_n = \frac{n}{2}(226 - 7n + 7)$

$S_n = \frac{n}{2}(233 - 7n)$

$S_n$が最大になるのは、$a_n$が初めて負になる直前の$n$の値である。

$a_n = 113 + (n-1)(-7) = 113 - 7n + 7 = 120 - 7n$

$120 - 7n < 0$

$120 < 7n$

$n > \frac{120}{7} \approx 17.14$

よって、$n = 17$のとき、$a_n$は正であり、$n=18$のとき、$a_n$は負になる。

したがって、$S_n$が最大になるのは$n=17$のときである。

(2)

等比数列$\{a_n\}$の初項を$a$, 公比を$r$とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S_{100} = \frac{a(1-r^{100})}{1-r} = 9009$

$S_{200} = \frac{a(1-r^{200})}{1-r} = 36036$

$\frac{S_{200}}{S_{100}} = \frac{1-r^{200}}{1-r^{100}} = \frac{(1-r^{100})(1+r^{100})}{1-r^{100}} = 1+r^{100} = \frac{36036}{9009} = 4$

$1+r^{100} = 4$

$r^{100} = 3$

$S_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{100})^3)}{1-r} = \frac{a(1-3^3)}{1-r} = \frac{a(1-27)}{1-r} = \frac{a(-26)}{1-r}$

$S_{300} = \frac{a(1-r^{300})}{1-r} = \frac{a(1-r^{100})(1+r^{100}+r^{200})}{1-r} = \frac{a(1-r^{100})}{1-r}(1+r^{100}+r^{200}) = S_{100}(1+r^{100}+r^{200})$

$S_{300} = 9009(1+3+3^2) = 9009(1+3+9) = 9009(13) = 117117$

3. 最終的な答え

(1) 初項$a_1$は113である。$S_n$が最大になるのは$n = 17$のときである。

(2) $r^{100}$の値は3である。$S_{300}$の値は117117である。