次の3つの数列の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

1. 問題の内容

次の3つの数列の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ の場合：

まず、$\sum$ の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらを代入して計算します。

$2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ の場合：

まず、$\sum$ の性質を利用して、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k-5) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - 5 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらを代入して計算します。

$3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n(n+1)}{2} - \frac{10n}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 10n}{2} = \frac{3n^2 - 7n}{2} = \frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k-2)$ の場合：

まず、$(k-1)(k-2)$ を展開します。

$(k-1)(k-2) = k^2 - 2k - k + 2 = k^2 - 3k + 2$

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 3k + 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3 \sum_{k=1}^{n} k + 2 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらを代入して計算します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{12n}{6} = \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 9(n+1) + 12] = \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 9n - 9 + 12] = \frac{n}{6} [2n^2 - 6n + 4] = \frac{n}{6} \cdot 2 [n^2 - 3n + 2] = \frac{n}{3} (n^2 - 3n + 2) = \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+2)$

(2) $\frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$