与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。3つの小問があります。 (1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -2a_n + 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。3つの小問があります。

(1) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -2a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = 3a_n - 2$ を変形して等比数列の形にします。特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くと $2x = 2$ より $x = 1$ です。よって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

数列 $\{a_n - 1\}$ は、初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比 3 の等比数列です。したがって

$a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 3^{n-1} + 1$

(2)

$a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$ を変形して等比数列の形にします。特性方程式 $x = \frac{x}{3} + 2$ を解くと $\frac{2}{3}x = 2$ より $x = 3$ です。よって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$

数列 $\{a_n - 3\}$ は、初項 $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列です。したがって

$a_n - 3 = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

$a_n = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + 3$

(3)

$a_{n+1} = -2a_n + 1$ を変形して等比数列の形にします。特性方程式 $x = -2x + 1$ を解くと $3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$ です。よって、漸化式は以下のように変形できます。

$a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$

数列 $\{a_n - \frac{1}{3}\}$ は、初項 $a_1 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, 公比 $-2$ の等比数列です。したがって

$a_n - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1}$

$a_n = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$

$a_n = \frac{1}{3}(2 \cdot (-2)^{n-1} + 1)$

$a_n = \frac{1}{3}((-2)^n + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} + 3$

(3) $a_n = \frac{1}{3}((-2)^n + 1)$