問題は2つのパートに分かれています。 (1) 等式 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2+y^2)$ を証明する問題です。左辺を展開し、右辺と比較して等しいことを示します。 (2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{c^2+d^2}{c^2}$ を証明する問題です。$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおき、$a$ と $c$ を $b$ と $d$ と $k$ で表し、それぞれの式に代入して等しいことを示します。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

(1) 等式 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2+y^2)$ を証明する問題です。左辺を展開し、右辺と比較して等しいことを示します。

(2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、等式 $\frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{c^2+d^2}{c^2}$ を証明する問題です。$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおき、$a$ と $c$ を $b$ と $d$ と $k$ で表し、それぞれの式に代入して等しいことを示します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺を展開します。

$(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x^2 + 4xy + y^2$

次に、同類項をまとめます。

$x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x^2 + 4xy + y^2 = 5x^2 + 5y^2$

したがって、左辺は $5x^2 + 5y^2$ となります。

次に、右辺を展開します。

$5(x^2+y^2) = 5x^2 + 5y^2$

したがって、右辺は $5x^2 + 5y^2$ となります。

左辺と右辺が等しくなるため、与えられた等式は成り立つことが証明されました。

(2)

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$ とおくと、 $a = bk$、$c = dk$ となります。

$\frac{a^2+b^2}{a^2}$ に $a = bk$ を代入すると

$\frac{(bk)^2 + b^2}{(bk)^2} = \frac{b^2k^2 + b^2}{b^2k^2} = \frac{b^2(k^2+1)}{b^2k^2} = \frac{k^2+1}{k^2}$

$\frac{c^2+d^2}{c^2}$ に $c = dk$ を代入すると

$\frac{(dk)^2 + d^2}{(dk)^2} = \frac{d^2k^2 + d^2}{d^2k^2} = \frac{d^2(k^2+1)}{d^2k^2} = \frac{k^2+1}{k^2}$

したがって、$\frac{a^2+b^2}{a^2} = \frac{c^2+d^2}{c^2}$ が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

ア: $5x^2 + 5y^2$

イ: $5x^2 + 5y^2$

ウ: $bk$

エ: $dk$

オ: $\frac{k^2+1}{k^2}$