画像に写っている数列の問題のうち、(4), (5), (6)の一般項を求めます。

1. 問題の内容

画像に写っている数列の問題のうち、(4), (5), (6)の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

**(4) a1=1, 2an+1 - an + 2 = 0**

まず、漸化式を $a_{n+1}$ について解きます。

$2a_{n+1} = a_n - 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - 1$

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - 1$ を解くと、$x = -2$ です。

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2} (a_n + 2)$

数列 $\{a_n + 2\}$ は、初項 $a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので、

$a_n + 2 = 3 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = 3 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - 2$

**(5) a1=0, 2an+1 - 3an = 1**

漸化式を $a_{n+1}$ について解きます。

$2a_{n+1} = 3a_n + 1$

$a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n + \frac{1}{2}$

特性方程式 $x = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$ を解くと、$x = -1$ です。

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (a_n + 1)$

数列 $\{a_n + 1\}$ は、初項 $a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列なので、

$a_n + 1 = 1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$

**(6) a1=5, an+1=3an-4**

特性方程式 $x = 3x - 4$ を解くと、$x = 2$ です。

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - 2 = 3 (a_n - 2)$

数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$、公比 $3$ の等比数列なので、

$a_n - 2 = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$

$a_n = 3^n + 2$

3. 最終的な答え

(4) $a_n = 3 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - 2$

(5) $a_n = \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} - 1$

(6) $a_n = 3^n + 2$