与えられた式 $(x^2 - 3x + 1)(x-1)(x-2)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 3x + 1)(x-1)(x-2)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-2)$ を展開する。

$(x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$

次に、$(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 2)$ を展開する。

$A = x^2 - 3x$ と置くと、式は $(A + 1)(A + 2)$ となる。

これを展開すると、 $A^2 + 3A + 2$ となる。

$A$ を $x^2 - 3x$ に戻すと、$(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) + 2$ となる。

$(x^2 - 3x)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(3x) + (3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2$

$3(x^2 - 3x) = 3x^2 - 9x$

したがって、$(x^4 - 6x^3 + 9x^2) + (3x^2 - 9x) + 2 = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 9x + 2$

3. 最終的な答え

$x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 9x + 2$