等式 $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を展開して整理する。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

この結果と左辺を比較する。

$2x^2 - 7x - 1 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

係数を比較すると、以下の連立方程式を得る。

$a = 2$

$-2a + b = -7$

$a - b + c = -1$

$a = 2$ より、

$-2(2) + b = -7$

$-4 + b = -7$

$b = -7 + 4 = -3$

$a - b + c = -1$ に $a=2$, $b=-3$ を代入すると、

$2 - (-3) + c = -1$

$2 + 3 + c = -1$

$5 + c = -1$

$c = -1 - 5 = -6$

したがって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -6$ である。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$

$c = -6$