与えられた式 $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解します。

## 問題4(1)

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、後ろの3項をマイナスでくくり、平方完成の形にします。

$4x^2 - (y^2 - 2y + 1)$

次に、括弧の中身を因数分解します。

$4x^2 - (y - 1)^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用して因数分解します。ここで、$A = 2x$、$B = (y - 1)$ です。

$(2x + (y - 1))(2x - (y - 1))$

最後に、括弧を外して整理します。

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(2x - y + 1)$

## 問題4(3)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、項を組み替えて、共通因数でくくりやすくします。

$(x^3 - x^2) + (ax^2 - a)$

次に、それぞれの括弧の中で共通因数をくくり出します。

$x^2(x - 1) + a(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ は $(x + 1)(x - 1)$ と因数分解できるので、代入します。

$x^2(x - 1) + a(x + 1)(x - 1)$

ここで、$(x - 1)$ が共通因数なので、くくり出します。

$(x - 1)(x^2 + a(x + 1))$

最後に、括弧の中身を整理します。

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

## 問題4(5)

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$3x^2 + (2y + 7)x + (-y^2 + 3y + 4)$

次に、定数項 $-y^2 + 3y + 4$ を因数分解します。

$-(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1) = (4 - y)(y + 1)$

与式は、$3x^2 + (2y + 7)x + (4 - y)(y + 1)$ となります。

この式が$(Ax+By+C)(Dx+Ey+F)$の形に因数分解できると仮定して、係数を比較して因数分解を試みます。

$3x^2 + (2y + 7)x + (4 - y)(y + 1) = (3x + ay + b)(x + cy + d)$ のように仮定します。

$(3x + ay + b)(x + cy + d) = 3x^2 + (ac+a)xy + (3d+b)x + acy^2 + (ad+bc)y + bd$

係数を比較すると、

$ac = -1$, $ad+bc=3$, $bd=4$, $2y+7=(3c+a)y + (3d+b)$, $b=-y$,$ac=-1$となるものを探すと、

$3x^2 + (2y + 7)x + (4 - y)(y + 1) = (3x - y + 4)(x + y + 1)$

3. 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$

## 問題4(7)

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、$a$について整理します。

$a(b^2 - c^2) - a^2(b - c) + bc(c - b)$

$=a(b^2-c^2) -a^2(b-c) -bc(b-c)$

ここで、$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$なので、代入します。

$a(b - c)(b + c) - a^2(b - c) - bc(b - c)$

$(b - c)$が共通因数なので、くくり出します。

$(b - c)(a(b + c) - a^2 - bc)$

括弧の中身を整理します。

$(b - c)(ab + ac - a^2 - bc)$

さらに、括弧の中身を並び替えます。

$(b - c)(ab - a^2 + ac - bc)$

括弧の中身を因数分解します。

$(b - c)(a(b - a) + c(a - b))$

$= (b - c)(a(b - a) - c(b - a))$

$= (b - c)(b - a)(a - c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$ または $(a-b)(c-b)(c-a)$ または $(b-a)(b-c)(a-c)$