与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy - 3y^2 - x + 11y - 6$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず$x$についての二次式として整理します。

$2x^2 + (5y - 1)x - (3y^2 - 11y + 6)$

次に、定数項の $-(3y^2 - 11y + 6)$ を因数分解します。

$3y^2 - 11y + 6 = (3y - 2)(y - 3)$

したがって、定数項は $-(3y - 2)(y - 3)$となります。

因数分解後の式を $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形と仮定します。$x^2$の係数が2なので、aとdは1と2の組み合わせだと考えられます。

$x$ の係数が $5y-1$ であること、定数項が$-(3y-2)(y-3)$であることを考慮して、全体として以下の形に因数分解できると予想します。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

定数項が $-(3y-2)(y-3)$であるので、これを満たすように $a, b, c, d$ を選びます。

$2x^2 + (5y - 1)x - (3y^2 - 11y + 6) = (2x - y + 3)(x + 3y - 2)$

これを展開すると、

$2x^2 + 6xy - 4x - xy -3y^2 + 2y + 3x + 9y - 6 = 2x^2 + 5xy - x - 3y^2 + 11y - 6$

となり、与えられた式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x - y + 3)(x + 3y - 2)$