与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$と変形することで、平方の差の形に持ち込むことができます。

まず、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$は$(x^2 + y^2)^2$と因数分解できます。

つまり、

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - 13x^2y^2$

ここで、$13x^2y^2 = (\sqrt{13}xy)^2$であるから、平方の差の公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$を利用します。

$(x^2+y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2 = (x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

したがって、

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = (x^2 + \sqrt{13}xy + y^2)(x^2 - \sqrt{13}xy + y^2)$

別のやり方として、以下のように計算できます。

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2-y^2+3xy)(x^2-y^2-3xy) = (x^2+3xy-y^2)(x^2-3xy-y^2)$.

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)$

または

$(x^2 + \sqrt{13}xy + y^2)(x^2 - \sqrt{13}xy + y^2)$