(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ は、初項 $5^{1-1} = 5^0 = 1$, 公比 $5$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である。等比数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5-1} = \frac{5^n - 1}{4}$$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 3^k$ は、初項 $3^1 = 3$, 公比 $3$ の等比数列の初項から第 $n-1$ 項までの和である。等比数列の和の公式を用いると、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5^n - 1}{4}$

(2) $\frac{3^n - 3}{2}$