与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理してみます。

$x^2 + (2y - 8)x - 14y + 7$

この式が$(x+a)(x+b)$の形に因数分解できると仮定すると、$ab=-14y+7$かつ$a+b=2y-8$となります。

ここで、与えられた式をよく見ると、$x$と$y$の項があるので、$(x+Ay+B)(x+Cy+D)$の形になると考えられます。これを展開すると、

$x^2 + (A+C)xy + (B+D)x + ACy^2 + (AD+BC)y + BD$

となります。

元の式と比較すると、$A+C=2$、$AC=0$なので、$A=0$, $C=2$または$A=2$, $C=0$となります。ここでは、$A=0$、$C=2$とします。すると、$(x+B)(x+2y+D)$の形になるので、展開して

$x^2 + (2y+D)x + Bx + (2y+D)B$

$=x^2 + (2y+D+B)x + 2By + BD$

元の式と比較すると、$2y+D+B=2y-8$なので、$D+B=-8$。そして、$2By+BD = -14y+7$となるので、$2B=-14$、つまり$B=-7$。すると、$D = -8 - B = -8 - (-7) = -1$。

したがって、$(x-7)(x+2y-1)$となります。

検算のため展開すると、

$(x-7)(x+2y-1) = x^2 + 2xy - x - 7x - 14y + 7 = x^2 + 2xy - 8x - 14y + 7$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(x - 7)(x + 2y - 1)$