与えられた数式をそれぞれ簡略化します。 (1) $\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$ (2) $\frac{x+1}{x} + \frac{x+2}{x+1} - \frac{x+3}{x+2} - \frac{x+4}{x+3}$ (3) $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4}$

はい、承知いたしました。与えられた3つの数式をそれぞれ順番に解きます。

1. 問題の内容

与えられた数式をそれぞれ簡略化します。

(1) $\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

(2) $\frac{x+1}{x} + \frac{x+2}{x+1} - \frac{x+3}{x+2} - \frac{x+4}{x+3}$

(3) $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

これらを足し合わせると、

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}$

通分すると、

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{x^2 + x - 2}$

(2) それぞれの項を整理します。

$\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$

$\frac{x+2}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$

$\frac{x+3}{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2}$

$\frac{x+4}{x+3} = 1 + \frac{1}{x+3}$

したがって、

$(1 + \frac{1}{x}) + (1 + \frac{1}{x+1}) - (1 + \frac{1}{x+2}) - (1 + \frac{1}{x+3}) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

$= (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) = \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+1)(x+3)}$

$= \frac{2(x+1)(x+3) + 2x(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{2(x^2 + 4x + 3) + 2(x^2 + 2x)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

$= \frac{4x^2 + 12x + 6}{x(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{2(2x^2 + 6x + 3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{2(2x^2+6x+3)}{x(x+3)(x+1)(x+2)} = \frac{2(2x^2+6x+3)}{x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x}$

(3) 順番に計算していきます。

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{(1+x) + (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x^2}$

$\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2) + 2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{4}{1-x^4}$

$\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4(1+x^4) + 4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \frac{8}{1-x^8}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{x^2 + x - 2}$

(2) $\frac{2(2x^2 + 6x + 3)}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$ または $\frac{4x^2+12x+6}{x^4+6x^3+11x^2+6x}$

(3) $\frac{8}{1-x^8}$