与えられた式 $(6)(x^2-x-1)(x^2-x-3)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(6)(x^2-x-1)(x^2-x-3)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x$ を $u$ と置換する。すると、与えられた式は、

$6(u - 1)(u - 3)$

となる。これを展開すると、

$6(u^2 - 3u - u + 3) = 6(u^2 - 4u + 3) = 6u^2 - 24u + 18$

次に、$u$ を $x^2 - x$ に戻す。

$6(x^2 - x)^2 - 24(x^2 - x) + 18$

$(x^2 - x)^2 = (x^2 - x)(x^2 - x) = x^4 - x^3 - x^3 + x^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$

したがって、

$6(x^4 - 2x^3 + x^2) - 24(x^2 - x) + 18$

$= 6x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 24x^2 + 24x + 18$

$= 6x^4 - 12x^3 - 18x^2 + 24x + 18$

3. 最終的な答え

$6x^4 - 12x^3 - 18x^2 + 24x + 18$