三角形ABCにおいて、辺BC = a = √7, CA = b = 3, AB = c = 2とする。 (1) 角A、外接円の半径R、三角形ABCの面積S1を求める。 (2) 外接円の円周上に点A'をとる。直線A'Bと辺ACとの交点Pが、辺ACを2:1に分割するとき、四角形ABCA'の面積Sを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC = a = √7, CA = b = 3, AB = c = 2とする。

(1) 角A、外接円の半径R、三角形ABCの面積S1を求める。

(2) 外接円の円周上に点A'をとる。直線A'Bと辺ACとの交点Pが、辺ACを2:1に分割するとき、四角形ABCA'の面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、余弦定理を用いて角Aを求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2\cdot3\cdot2\cos A$

$7 = 9 + 4 - 12\cos A$

$12\cos A = 6$

$\cos A = \frac{1}{2}$

したがって、$A = 60^{\circ}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{\sin 60^{\circ}} = 2R$

$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{\sqrt{21}}{3}$

次に、三角形ABCの面積S1を求める。

$S_1 = \frac{1}{2}bc\sin A$

$S_1 = \frac{1}{2}\cdot3\cdot2\sin 60^{\circ}$

$S_1 = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2)

点Pは辺ACを2:1に分割するので、AP = 2, PC = 1。

方べきの定理より、$AP\cdot AC = AB\cdot BA'$

$2\cdot3 = 2\cdot BA'$

$BA' = 3$

よって、$\triangle ABC$ と $\triangle A'PC$ において

$\angle A = \angle A'$ (円周角)

$\angle ABC = \angle A'PC$ （円周角の定理から考えると、四角形ABA'Cが円に内接するから、$\angle ABA'+\angle ACA'=180^{\circ}$。したがって$\angle ABC + \angle A'PC=180^{\circ}$）

$\angle BAC = \angle A'$なので、$\triangle A'BC$と$\triangle ABC$において、角が一致しているので相似。

四角形ABCA'の面積S = $\triangle ABC + \triangle A'BC$

$\triangle A'PC$と$\triangle ABA'$は相似の関係で、その相似比はPC:BA' = 1:3

したがって、面積比は1:9

ここで、$\triangle ABC$と$\triangle A'BC$を比較する。底辺BCは共通なので、高さの比が面積比になる。$\triangle ABA'$ の面積を求められれば、$\triangle A'PC$の面積を求められるため、$\triangle A'BC$の面積も求められる。

$\angle A'BC = \angle A'AC = 60^{\circ}$

また、$\angle ABA' = \angle ACA' = 120^{\circ}$

よって、$\triangle ABA'$の面積は、$1/2 \cdot 2\cdot 3 \cdot \sin \angle ABA' = 3 \sqrt{3}/2$

$\triangle APC = 1/9\cdot \triangle ABA'= 3\sqrt{3}/18=\sqrt{3}/6$

ゆえに、$\triangle A'BC$の面積は、$\frac{AP}{AC}=2/3$, $\frac{\triangle A'BC}{\triangle ABC} = \frac{PC}{AC}=1/3$, よって、$\triangle A'BC = \frac{2}{3}S_1$

$\triangle A'BC = \frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

四角形ABCA'の面積S = $S_1 + \triangle A'BC = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

A = 60°

外接円の半径R = $\frac{\sqrt{21}}{3}$

$\triangle ABC$の面積S1 = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2)

四角形ABCA'の面積S = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$