問題は以下の2つの部分に分かれています。 (1) 点 $(-1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式を求めよ。 (2) 求めた平面と原点 $(0, 0, 0)$ と点 $(-1, 2, 2)$ との距離 $l_0, l_1$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分に分かれています。

(1) 点 $(-1, 3, 2)$ を通り、ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ に直交する平面の方程式を求めよ。

(2) 求めた平面と原点 $(0, 0, 0)$ と点 $(-1, 2, 2)$ との距離 $l_0, l_1$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平面の方程式を求める

平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とします。平面の法線ベクトルが $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ で、平面が点 $(-1, 3, 2)$ を通るので、平面の方程式は以下のように表されます。

$2(x - (-1)) + 4(y - 3) - 1(z - 2) = 0$

これを整理すると、

$2x + 2 + 4y - 12 - z + 2 = 0$

$2x + 4y - z - 8 = 0$

したがって、求める平面の方程式は、

$2x + 4y - z = 8$

(2) 原点 $(0, 0, 0)$ と平面 $2x + 4y - z = 8$ の距離 $l_0$ を求める。

点 $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ の距離は、

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

で与えられます。

この問題では、点 $(0, 0, 0)$ と平面 $2x + 4y - z - 8 = 0$ の距離 $l_0$ を求めるので、

$l_0 = \frac{|2(0) + 4(0) - (0) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{8}{\sqrt{21}}$

よって、

$l_0 = \frac{8}{\sqrt{21}} = \frac{8\sqrt{21}}{21}$

(3) 点 $(-1, 2, 2)$ と平面 $2x + 4y - z = 8$ の距離 $l_1$ を求める。

同様に、点 $(-1, 2, 2)$ と平面 $2x + 4y - z - 8 = 0$ の距離 $l_1$ は、

$l_1 = \frac{|2(-1) + 4(2) - (2) - 8|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 + 8 - 2 - 8|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$

よって、

$l_1 = \frac{4}{\sqrt{21}} = \frac{4\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) 平面の方程式: $2x + 4y - z = 8$

(2) 原点からの距離 $l_0 = \frac{8\sqrt{21}}{21}$

(3) 点 $(-1, 2, 2)$ からの距離 $l_1 = \frac{4\sqrt{21}}{21}$