与えられた式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+2z)(2x+3y-z)(4x-y-3z)$ を展開したときの $xyz$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

多項式を展開したときに $xyz$ の項になるのは、それぞれの括弧から $x, y, z$ を一つずつ選んで掛け合わせたときです。

したがって、各括弧から $x, y, z$ を一つずつ選ぶ組み合わせをすべて考え、それらを足し合わせます。

組み合わせは以下の通りです。

* $x$ (第1括弧) $\times$ $3y$ (第2括弧) $\times$ $-3z$ (第3括弧) $= -9xyz$

* $x$ (第1括弧) $\times$ $-z$ (第2括弧) $\times$ $-y$ (第3括弧) $= xyz$

* $y$ (第1括弧) $\times$ $2x$ (第2括弧) $\times$ $-3z$ (第3括弧) $= -6xyz$

* $y$ (第1括弧) $\times$ $-z$ (第2括弧) $\times$ $4x$ (第3括弧) $= -4xyz$

* $2z$ (第1括弧) $\times$ $2x$ (第2括弧) $\times$ $-y$ (第3括弧) $= -4xyz$

* $2z$ (第1括弧) $\times$ $3y$ (第2括弧) $\times$ $4x$ (第3括弧) $= 24xyz$

これらの項をすべて足し合わせます。

$-9xyz + xyz - 6xyz - 4xyz - 4xyz + 24xyz = (-9 + 1 - 6 - 4 - 4 + 24)xyz = 2xyz$

したがって、$xyz$ の係数は $2$ となります。

3. 最終的な答え

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