実数 $x$ に対して、不等式 $8^x + 8^{-x} - (4^x + 4^{-x}) - 11 \ge 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、不等式 $8^x + 8^{-x} - (4^x + 4^{-x}) - 11 \ge 0$ を満たす $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ です。

このとき、$4^x = (2^x)^2 = t^2$, $8^x = (2^x)^3 = t^3$ となります。

また、$4^{-x} = \frac{1}{4^x} = \frac{1}{t^2}$, $8^{-x} = \frac{1}{8^x} = \frac{1}{t^3}$ となります。

これらを用いて、与えられた不等式を書き換えると、

$$t^3 + \frac{1}{t^3} - (t^2 + \frac{1}{t^2}) - 11 \ge 0$$

となります。

ここで、$t + \frac{1}{t} = u$ とおくと、$u \ge 2$ (相加相乗平均の関係より)です。

$t^2 + \frac{1}{t^2} = (t + \frac{1}{t})^2 - 2 = u^2 - 2$

$t^3 + \frac{1}{t^3} = (t + \frac{1}{t})^3 - 3(t + \frac{1}{t}) = u^3 - 3u$

となるので、不等式は

$$u^3 - 3u - (u^2 - 2) - 11 \ge 0$$

$$u^3 - u^2 - 3u - 9 \ge 0$$

となります。

$f(u) = u^3 - u^2 - 3u - 9$ とおくと、$f(3) = 27 - 9 - 9 - 9 = 0$ であるから、

$f(u)$ は $(u-3)$ を因数に持ちます。

$f(u) = (u-3)(u^2 + 2u + 3)$

$u^2 + 2u + 3 = (u+1)^2 + 2 > 0$ なので、不等式 $f(u) \ge 0$ を満たすのは $u \ge 3$ のときです。

よって、$t + \frac{1}{t} \ge 3$ となります。

$t + \frac{1}{t} - 3 \ge 0$

$\frac{t^2 - 3t + 1}{t} \ge 0$

$t > 0$ より $t^2 - 3t + 1 \ge 0$ となります。

$t = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, t \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$2^x = t$ であったので、

$2^x \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 2^x \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

ここで、$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 = (\frac{1}{\phi})^2 = \phi^{-2} = (2^{-1})^2 \cdot (2 \phi)^{-2}$, $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = (\frac{\sqrt{5} + 1}{2})^2 = \phi^2$

$2^x \le (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 = (\phi^{-1})^2 = \phi^{-2}$

$2^x \ge (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) = (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2 = \phi^2$

$2 = \phi^2 - \phi$, $\phi \approx 1.618$.

$2^{x} \le \phi^{-2}, 2^{x} \ge \phi^2$

対数をとると、

$x \log 2 \le -2 \log \phi, x \log 2 \ge 2 \log \phi$

$x \le -2 \frac{\log \phi}{\log 2}, x \ge 2 \frac{\log \phi}{\log 2}$

ここで、$4^x + 4^{-x} = (2^{2x} + 2^{-2x})$, $8^x + 8^{-x} = (2^{3x} + 2^{-3x})$ に注目すると、$x=0$ のとき $2 - 2 - 11 = -11 \ge 0$ となることはなく、明らかに不適。

$x=1$ のとき $8+1/8 - (4 + 1/4) - 11 = 9 + 1/8 - (4.25) - 11 = 9.125 - 4.25 - 11 = -6.125$, 不適。

$x=2$ のとき、$64 + 1/64 - (16 + 1/16) - 11 = 64 + 0.015 - 16 - 0.0625 - 11 = 36.9525 \ge 0$.

$x=-2$ のときも同様。

$2^{x} = t$, $x=0$ を代入すると、$t=1$. $u = t + 1/t = 2$, $u^3 - u^2 -3u - 9 = 8 - 4 - 6 - 9 = -11 < 0$.

$t^2 - 3t + 1 \ge 0$ より、$t = 1$ のとき、$1-3+1 = -1 < 0$ となる。

$t \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ または $t \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

$2^x \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ より $x \le \log_2 (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

$2^x \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ より $x \ge \log_2 (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

3. 最終的な答え

$x \le \log_2 (\frac{3 - \sqrt{5}}{2}), x \ge \log_2 (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

あるいは

$x \le \log_2 (\phi^{-2}), x \ge \log_2 (\phi^2)$

$x \le -2 \log_2 \phi, x \ge 2 \log_2 \phi$, ここで $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.