2点A(6, -4, 1) と B(4, -5, 3) を通る直線を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(6, -4, 1) と B(4, -5, 3) を通る直線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方向ベクトルを求めます。方向ベクトルは、2点AとBの座標の差として計算できます。

$\vec{v} = \vec{AB} = (4-6, -5-(-4), 3-1) = (-2, -1, 2)$

次に、直線上の点をA(6, -4, 1)とすると、直線上の任意の点P(x, y, z)は、パラメータtを用いて次のように表すことができます。

$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{v}$

$(x, y, z) = (6, -4, 1) + t(-2, -1, 2)$

したがって、

$x = 6 - 2t$

$y = -4 - t$

$z = 1 + 2t$

これらの式からパラメータtを消去します。

$t = -y - 4$

これを他の式に代入します。

$x = 6 - 2(-y - 4) = 6 + 2y + 8 = 2y + 14$

$z = 1 + 2(-y - 4) = 1 - 2y - 8 = -2y - 7$

$x - 2y = 14$

$z + 2y = -7$

$x - 14 = 2y$

$z + 7 = -2y$

$x - 14 = -(z + 7)$

$x - 14 = -z - 7$

$x + z = 7$

また、$t = \frac{6-x}{2}$なので、

$y = -4 - \frac{6-x}{2}$

$2y = -8 - 6 + x$

$2y = x - 14$

$t = \frac{z-1}{2}$なので、

$y = -4 - \frac{z-1}{2}$

$2y = -8 - z + 1$

$2y = -z - 7$

$x-14 = -z-7$

$x+z = 7$

これを直線の方程式として記述すると、

$\frac{x-6}{-2} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z-1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{x-6}{-2} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z-1}{2}$

または

$x+z = 7$, $x - 2y = 14$

など。