東西に7本、南北に8本の道がある町で、以下の地点間の最短経路の数を求める問題です。 (i) A地点からC地点へ行く場合 (ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合 (iii) P地点からQ地点へ行く場合

1. 問題の内容

東西に7本、南北に8本の道がある町で、以下の地点間の最短経路の数を求める問題です。

(i) A地点からC地点へ行く場合

(ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合

(iii) P地点からQ地点へ行く場合

2. 解き方の手順

(i) A地点からC地点へ行く場合

AからCへ行くには、右に2つ、上に6つ進む必要があります。したがって、経路の総数は、8回の移動のうち右に2回移動する選び方と同じで、組み合わせで計算できます。

$_{8}C_{2} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り

(ii) P地点からB, Cの両地点を通ってQ地点へ行く場合

まず、PからBへ行く必要があります。PからBへ行くには、右に1つ、上に2つ進む必要があります。したがって、PからBへの経路の総数は

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$ 通り

次に、BからCへ行く必要があります。BからCへ行くには、上に1つ進む必要があります。経路は1通りです。

最後に、CからQへ行く必要があります。CからQへ行くには、右に2つ進む必要があります。経路は1通りです。

したがって、PからBを経由してCを経由してQへ行く経路の総数は、

$3 \times 1 \times 1 = 3$ 通り

(iii) P地点からQ地点へ行く場合

PからQへ行くには、右に3つ、上に4つ進む必要があります。したがって、経路の総数は、7回の移動のうち右に3回移動する選び方と同じで、組み合わせで計算できます。

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

3. 最終的な答え

(i) 28通り

(ii) 3通り

(iii) 35通り