$A_\lambda \in 2^X$ および $B_\gamma \in 2^Y$ に対して、以下の等式を示す問題です。 (1) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$ (2) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \cup B_\gamma)$ (3) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \times (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \times B_\gamma)$

1. 問題の内容

$A_\lambda \in 2^X$ および $B_\gamma \in 2^Y$ に対して、以下の等式を示す問題です。

(1) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$

(2) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \cup B_\gamma)$

(3) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \times (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \times B_\gamma)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、集合の補集合の定義から始めます。$x \in (\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c$ であるとは、$x \notin \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ を意味します。これは、$x$ がすべての $A_\lambda$ に含まれるわけではない、つまり、少なくとも一つの $\lambda \in \Lambda$ が存在して $x \notin A_\lambda$ であることを意味します。これは、$x \in A_\lambda^c$ を意味します。したがって、$x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$。

逆に、$x \in \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$ であるとは、少なくとも一つの $\lambda \in \Lambda$ が存在して $x \in A_\lambda^c$ であることを意味します。これは、$x \notin A_\lambda$ を意味します。したがって、$x \notin \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$。これは、$x \in (\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c$ を意味します。

よって、$(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$が成立します。

(2)

左辺を $L$、右辺を $R$ とします。

$L = (\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma)$

$R = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \cup B_\gamma)$

$x \in L$ とすると、$x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ または $x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma$。

もし $x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ ならば、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x \in A_\lambda$。

もし $x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma$ ならば、すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $x \in B_\gamma$。

$(\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$ を任意にとると、$x \in A_\lambda$ または $x \in B_\gamma$ なので、$x \in A_\lambda \cup B_\gamma$。

したがって、$x \in \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \cup B_\gamma) = R$。

よって、$L \subseteq R$ が成立します。

次に、$R \subseteq L$ を示します。

$x \in R$ とすると、すべての $(\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$ に対して $x \in A_\lambda \cup B_\gamma$。

$x \in R$ かつ $x \notin \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$と仮定すると、ある$\lambda_0 \in \Lambda$に対して$x \notin A_{\lambda_0}$。

このとき、任意の$\gamma \in \Gamma$に対して$(\lambda_0, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$なので、$x \in A_{\lambda_0} \cup B_\gamma$。

$x \notin A_{\lambda_0}$なので、$x \in B_\gamma$。

したがって、すべての$\gamma \in \Gamma$に対して$x \in B_\gamma$なので、$x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma$。

よって、$R \subseteq L$ が成立します。

以上より、$L = R$。

(3)

左辺を $L$、右辺を $R$ とします。

$L = (\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \times (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma)$

$R = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \times B_\gamma)$

$(x, y) \in L$ とすると、$x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ かつ $y \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma$。

これは、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x \in A_\lambda$ かつ すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $y \in B_\gamma$ を意味します。

したがって、すべての $(\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$ に対して $(x, y) \in A_\lambda \times B_\gamma$。

よって、$(x, y) \in \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \times B_\gamma) = R$。

したがって、$L \subseteq R$。

次に、$R \subseteq L$ を示します。

$(x, y) \in R$ とすると、すべての $(\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$ に対して $(x, y) \in A_\lambda \times B_\gamma$。

これは、すべての $(\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma$ に対して $x \in A_\lambda$ かつ $y \in B_\gamma$ を意味します。

したがって、すべての $\lambda \in \Lambda$ に対して $x \in A_\lambda$ かつ すべての $\gamma \in \Gamma$ に対して $y \in B_\gamma$。

これは、$x \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ かつ $y \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma$ を意味します。

したがって、$(x, y) \in (\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \times (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = L$。

よって、$R \subseteq L$。

以上より、$L = R$。

3. 最終的な答え

(1) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda)^c = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c$

(2) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \cup B_\gamma)$

(3) $(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda) \times (\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_\gamma) = \bigcap_{(\lambda,\gamma) \in \Lambda \times \Gamma} (A_\lambda \times B_\gamma)$