与えられた式 $(x+y+z)(x+3y+z) - 8y^2$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(x+3y+z) - 8y^2$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+z)(x+3y+z)$ を展開します。

$x+z$をAとおくと、

$(x+y+z)(x+3y+z) = (A+y)(A+3y) = A^2 + 4Ay + 3y^2$

ここで、$A = x+z$ を代入すると、

$(x+z)^2 + 4(x+z)y + 3y^2 = x^2 + 2xz + z^2 + 4xy + 4yz + 3y^2$

したがって、与えられた式は

$x^2 + 2xz + z^2 + 4xy + 4yz + 3y^2 - 8y^2 = x^2 + 2xz + z^2 + 4xy + 4yz - 5y^2$

さらに整理すると、

$x^2 + 4xy - 5y^2 + 2xz + 4yz + z^2$

ここで、$x^2 + 4xy - 5y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 + 4xy - 5y^2 = (x+5y)(x-y)$

したがって、式は

$(x+5y)(x-y) + 2xz + 4yz + z^2 = (x+5y)(x-y) + 2z(x+2y) + z^2$

少し見方を変えて、$x$に着目して整理すると

$x^2 + (4y+2z)x + z^2 +4yz-5y^2$

$= x^2 + 2(2y+z)x + (z+2y)^2 - 4y^2 -9y^2 = (x+(2y+z))^2 -9y^2$

$=(x+2y+z)^2 -(3y)^2 =(x+2y+z+3y)(x+2y+z-3y)=(x+5y+z)(x-y+z)$

3. 最終的な答え

$(x+5y+z)(x-y+z)$