整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが3、$x+3$ で割ると余りが -7 である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが3、$x+3$ で割ると余りが -7 である。$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

このとき、$P(x)$ はある整式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが3であるから、$P(2) = 3$。

同様に、$P(x)$ を $x+3$ で割ると余りが -7 であるから、$P(-3) = -7$。

上記の式に $x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 3$

上記の式に $x=-3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) - 3a + b = -3a + b = -7$

これより、以下の連立方程式が得られる。

$2a + b = 3$

$-3a + b = -7$

上の式から下の式を引くと、

$(2a + b) - (-3a + b) = 3 - (-7)$

$5a = 10$

$a = 2$

$2a + b = 3$ に $a = 2$ を代入すると、

$2(2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

したがって、余りは $2x - 1$。

3. 最終的な答え

$2x-1$