問題は、因数分解、式の展開、代入計算を行う問題です。具体的には、 (1) 式の因数分解を8問、(2) 式の展開と因数分解を2問、(3) 式の代入計算を1問、(4) 式の展開を3問行う必要があります。

1. 問題の内容

問題は、因数分解、式の展開、代入計算を行う問題です。具体的には、

(1) 式の因数分解を8問、(2) 式の展開と因数分解を2問、(3) 式の代入計算を1問、(4) 式の展開を3問行う必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解:

(1) $4x^2 + 8x - 21$: たすき掛けを使って因数分解します。$(2x-3)(2x+7)$.

(2) $x^2 - y^2 - 2y - 1$: $x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2$ と変形し、和と差の積の公式を使います。結果は $(x+y+1)(x-y-1)$.

(3) $x^4 - 8x^2 - 9$: $x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 8t - 9 = (t-9)(t+1)$ となります。$t$ を $x^2$ に戻すと $(x^2 - 9)(x^2 + 1) = (x-3)(x+3)(x^2 + 1)$.

(4) $x^3 + x^2y - x^2 - y$: $x^2(x+y) - (x^2 + y)$ . グルーピングの前にミスがあるようです。$x^3 + x^2y - x - y$ なら $x^2(x+y) - (x+y) = (x^2-1)(x+y) = (x-1)(x+1)(x+y)$.

(5) $2x^2 + 7xy + 6y^2 + 5x + 7y - 3$: $(2x + 3y - 1)(x + 2y + 3)$.

(6) $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$: 展開して整理します。$- (a-b)(b-c)(c-a)$.

(7) $x^3 + 64$: $x^3 + 4^3$ より、和の3乗の公式を使います。$(x+4)(x^2 - 4x + 16)$.

(8) $8a^3 - b^3$: $(2a)^3 - b^3$ より、差の3乗の公式を使います。$(2a-b)(4a^2 + 2ab + b^2)$.

(2) 展開と因数分解:

(1) $(x^2 + 1)^2$: $(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.

(2) $x^4 + x^2 + 1$: $x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$.

(3) 代入計算:

$A = x^3 - 4x^2y + y^3$, $B = -2x^2y + 3xy^2 + 3y^3$, $C = xy^2 + y^3$.

$A - 2(B-C) + 4C = A - 2B + 2C + 4C = A - 2B + 6C$.

$= (x^3 - 4x^2y + y^3) - 2(-2x^2y + 3xy^2 + 3y^3) + 6(xy^2 + y^3)$.

$= x^3 - 4x^2y + y^3 + 4x^2y - 6xy^2 - 6y^3 + 6xy^2 + 6y^3$.

$= x^3 + y^3$.

(4) 式の展開:

(1) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$。よって、3には2が、4にも2が入ります。

(2) $(x+1)(x-1)^2 = (x+1)(x^2-2x+1) = (x+1)(x-1)(x-1)=(x^2-1)(x-1) = x^3 -x^2 -x + 1$. なので、5には3,6には1,7には1が入ります。

(3) $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab) = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$. よって、8には4, 9には2, 10には2, 11には4が入ります。

3. 最終的な答え

(1)

(1) $(2x-3)(2x+7)$

(2) $(x+y+1)(x-y-1)$

(3) $(x-3)(x+3)(x^2+1)$

(4) $(x-1)(x+1)(x+y)$

(5) $(2x + 3y - 1)(x + 2y + 3)$

(6) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(7) $(x+4)(x^2-4x+16)$

(8) $(2a-b)(4a^2+2ab+b^2)$

(2)

(1) $x^4 + 2x^2 + 1$

(2) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(3)

$x^3 + y^3$ (選択肢0)

(4)

(1) 2, 2

(2) 3, 1, 1

(3) 4, 2, 2, 4