(1) 0, 2, 4, 6, 8の5つの数字から異なる4つを選んで並べ、3の倍数となる4桁の整数を作る。このような整数は何個存在するか。 (2) 0, 1, 2, 3, 4, 5の6つの数字を用いて4桁の整数はいくつ作れるか。 (3) A, B, C, D, E, Fの6人を2つのグループに分ける方法は何通りあるか。 (4) 男子5人、女子4人の中から、男子2人、女子2人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。 (5) 正六角形の対角線は何本あるか。 (6) 8人の生徒のうち4人を選び、そのうち1人を代表とする決め方は何通りあるか。代表を後で決めるか、先に決めるかで2つの解答を求めよ。 (7) 太郎、次郎、三郎の3人で6つの飴玉を分ける方法の総数はいくつか。ただし、飴玉がもらえない人がいても構わないとし、飴玉は区別できないとする。

1. 問題の内容

(1) 0, 2, 4, 6, 8の5つの数字から異なる4つを選んで並べ、3の倍数となる4桁の整数を作る。このような整数は何個存在するか。

(2) 0, 1, 2, 3, 4, 5の6つの数字を用いて4桁の整数はいくつ作れるか。

(3) A, B, C, D, E, Fの6人を2つのグループに分ける方法は何通りあるか。

(4) 男子5人、女子4人の中から、男子2人、女子2人の委員を選ぶ方法は何通りあるか。

(5) 正六角形の対角線は何本あるか。

(6) 8人の生徒のうち4人を選び、そのうち1人を代表とする決め方は何通りあるか。代表を後で決めるか、先に決めるかで2つの解答を求めよ。

(7) 太郎、次郎、三郎の3人で6つの飴玉を分ける方法の総数はいくつか。ただし、飴玉がもらえない人がいても構わないとし、飴玉は区別できないとする。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数の各桁の数の和が3の倍数となるように数字を選ぶ。

まず、5つの数字から4つを選ぶ組み合わせを考える。

可能な組み合わせは以下の通り。

- {0, 2, 4, 6}: 和は12 (3の倍数)

- {0, 2, 4, 8}: 和は14 (3の倍数ではない)

- {0, 2, 6, 8}: 和は16 (3の倍数ではない)

- {0, 4, 6, 8}: 和は18 (3の倍数)

- {2, 4, 6, 8}: 和は20 (3の倍数ではない)

和が3の倍数となるのは、{0, 2, 4, 6} と {0, 4, 6, 8} の場合。

{0, 2, 4, 6} の場合、千の位は0以外なので、3 x 3 x 2 x 1 = 18通り。

{0, 4, 6, 8} の場合、千の位は0以外なので、3 x 3 x 2 x 1 = 18通り。

したがって、合計は18 + 18 = 36通り。

(2) 4桁の整数を作る。

千の位は0以外なので5通り。百の位は6通り、十の位は6通り、一の位は6通り。

したがって、5 x 6 x 6 x 6 = 1080通り。

(3) 6人を2つのグループに分ける。

片方のグループの人数の選び方は、1人-5人、2人-4人、3人-3人の3パターン。

1人-5人の場合: ${6 \choose 1} = 6$通り

2人-4人の場合: ${6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

3人-3人の場合: ${6 \choose 3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。ただし、2つのグループは区別しないので、20 / 2 = 10通り。

したがって、合計は6 + 15 + 10 = 31通り。

(4) 男子2人、女子2人の委員を選ぶ。

男子の選び方: ${5 \choose 2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

女子の選び方: ${4 \choose 2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

したがって、合計は10 x 6 = 60通り。

(5) 正六角形の対角線の本数。

頂点の数は6。対角線は、ある頂点から自分自身と隣接する頂点を除くすべての頂点に引ける。したがって、1つの頂点から引ける対角線は6 - 3 = 3本。

6つの頂点から引ける対角線の総数は6 x 3 = 18本。ただし、各対角線は2回数えられているので、18 / 2 = 9本。

(6) 8人から4人を選び、1人を代表とする。

まず4人を選び、その中から代表を選ぶ場合: ${8 \choose 4} \times 4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 4 = 70 \times 4 = 280$通り。

先に代表を選び、残りの3人を選ぶ場合: ${8 \choose 1} \times {7 \choose 3} = 8 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 35 = 280$通り。

(7) 6個の区別できない飴玉を3人に分ける。

これは重複組み合わせの問題。

3人（太郎、次郎、三郎）に6個の飴玉を分ける方法の数は、

${3+6-1 \choose 6} = {8 \choose 6} = {8 \choose 2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

3. 最終的な答え

(1) 36個

(2) 1080個

(3) 31通り

(4) 60通り

(5) 9本

(6) 280通り (どちらの場合も)

(7) 28通り