$\cos 2\theta - 5\cos \theta + 3 = 0$ を満たす$\theta$の値を求めよ。

## (3)の問題

1. 問題の内容

$\cos 2\theta - 5\cos \theta + 3 = 0$ を満たす$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いて、式を$\cos \theta$のみで表します。

$2\cos^2 \theta - 1 - 5\cos \theta + 3 = 0$

整理すると、

$2\cos^2 \theta - 5\cos \theta + 2 = 0$

$\cos \theta = x$ とおくと、

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2x - 1)(x - 2) = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}, 2$ となります。

ここで、$x = \cos \theta$ なので、$-1 \le x \le 1$ である必要があります。したがって、$x = 2$ は不適です。

よって、$\cos \theta = \frac{1}{2}$

これを満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ （または$\theta = 60^\circ, 300^\circ$）となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

## (4)の問題

1. 問題の内容

$\cos 2\theta = \sin \theta$ を満たす$\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて、式を$\sin \theta$のみで表します。

$1 - 2\sin^2 \theta = \sin \theta$

整理すると、

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$

$\sin \theta = x$ とおくと、

$2x^2 + x - 1 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2x - 1)(x + 1) = 0$

したがって、$x = \frac{1}{2}, -1$ となります。

ここで、$x = \sin \theta$ なので、$\sin \theta = \frac{1}{2}$または$\sin \theta = -1$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$です。

$\sin \theta = -1$ を満たす$\theta$は、$\theta = \frac{3\pi}{2}$です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$