$(2-x)^{10}$ の展開における $x^7$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2-x)^{10}$ の展開における $x^7$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(2-x)^{10}$ を展開します。二項定理は次のようになります。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題では、$a=2$, $b=-x$, $n=10$ です。$x^7$ の係数を求めたいので、$k=7$ とします。

二項定理の $k=7$ の項は、

$\binom{10}{7} 2^{10-7} (-x)^7 = \binom{10}{7} 2^3 (-1)^7 x^7$

二項係数 $\binom{10}{7}$ を計算します。

$\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

したがって、$x^7$ の項は、

$120 \times 2^3 \times (-1)^7 x^7 = 120 \times 8 \times (-1) x^7 = -960 x^7$

3. 最終的な答え

$x^7$ の係数は -960 です。