多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k+6$ が与えられています。ここで、$k$ は実数です。 (1) $P(x)$ を $x+2$ で割ったときの商と余りを求めます。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求めます。 (3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p$, $q$, $r$ とするとき、$p^2+q^2+r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - (k-2)x^2 - (k-3)x + 2k+6$ が与えられています。ここで、$k$ は実数です。

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割ったときの商と余りを求めます。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求めます。

(3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p$, $q$, $r$ とするとき、$p^2+q^2+r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $x+2$ で割ったときの商と余りを求める。

$x+2=0$ より $x=-2$ なので、$P(-2)$ を計算し、余りを求めます。

$P(-2) = (-2)^3 - (k-2)(-2)^2 - (k-3)(-2) + 2k + 6 = -8 - 4(k-2) + 2(k-3) + 2k + 6 = -8 - 4k + 8 + 2k - 6 + 2k + 6 = 0$

よって、$P(x)$ は $x+2$ で割り切れます。つまり余りは $0$ です。

$P(x)$ を $x+2$ で割ったときの商を計算します。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + k+3)$

商は $x^2 - kx + k+3$、余りは $0$ です。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個持つような $k$ の値を求める。

$P(x) = (x+2)(x^2 - kx + k+3) = 0$ より、$x = -2$ または $x^2 - kx + k+3 = 0$。

$x^2 - kx + k+3 = 0$ が $x=-2$ を解に持つ場合： $(-2)^2 - k(-2) + k + 3 = 0$ より、$4 + 2k + k + 3 = 0$。$3k = -7$ より、$k = -\frac{7}{3}$。

このとき、$x^2 + \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} = 0$ となり、$3x^2 + 7x + 2 = 0$ なので、$(3x+1)(x+2)=0$。

したがって、$x = -2, -\frac{1}{3}$ となり、異なる実数解は2個なので、$k = -\frac{7}{3}$ は条件を満たします。

$x^2 - kx + k+3 = 0$ が重解を持つ場合、判別式 $D = k^2 - 4(k+3) = 0$。

$k^2 - 4k - 12 = 0$ より、$(k-6)(k+2) = 0$。したがって、$k = 6, -2$。

$k=6$ のとき、$x^2 - 6x + 9 = 0$ より、$(x-3)^2 = 0$。$x = 3$。

$k=-2$ のとき、$x^2 + 2x + 1 = 0$ より、$(x+1)^2 = 0$。$x = -1$。

$k=6$ のとき、$x = -2, 3$ で条件を満たします。

$k=-2$ のとき、$x = -2, -1$ で条件を満たします。

したがって、$k = -\frac{7}{3}, -2, 6$。

(3) $k$ は (2) で求めた値以外の実数値とします。方程式 $P(x) = 0$ の3つの解の実部をそれぞれ $p$, $q$, $r$ とするとき、$p^2+q^2+r^2 = 7$ を満たす $k$ の値を求めます。

$x=-2$ は解の一つなので、$p=-2$ とします。$q, r$ は $x^2 - kx + k+3 = 0$ の解なので、解と係数の関係より、

$q+r = k$, $qr = k+3$。

$p^2+q^2+r^2 = 7$ より、 $(-2)^2 + q^2+r^2 = 7$。

$q^2+r^2 = 3$。

$(q+r)^2 = q^2 + 2qr + r^2 = k^2$ より、$q^2+r^2 = k^2 - 2qr = k^2 - 2(k+3) = k^2 - 2k - 6 = 3$。

$k^2 - 2k - 9 = 0$。

$k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$。

(2)より、$k \neq -\frac{7}{3}, -2, 6$ である必要がある。

$k = 1 \pm \sqrt{10}$ はこれらの値と異なるため、$k = 1 \pm \sqrt{10}$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) 商: $x^2 - kx + k+3$, 余り: $0$

(2) $k = -\frac{7}{3}, -2, 6$

(3) $k = 1 \pm \sqrt{10}$