問題は3つあります。 問題77：1から25までの整数の中から異なる3個の整数を選ぶとき、次の問いに答えなさい。 (1) 3つの整数の積が奇数となるような選び方は何通りあるか。 (2) 3つの整数の和が奇数となるような選び方は何通りあるか。 問題78：x, x, x, y, y, z, z の7文字を横一列に並べるとき、次の問いに答えなさい。 (1) 並べ方の総数を求めよ。 (2) 2つの z が隣り合うような並べ方の数を求めよ。 問題79：縦5本、横4本の道がある。A地点からB地点まで遠回りしないで行く道順について答えなさい。C地点を経由する場合や経由しない場合を含め、以下の問いに答えなさい。 (1) 行き方の総数を求めよ。 (2) 地点Cを通って行く道順は何通りあるか。 (3) 地点Cを通らない道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題77：1から25までの整数の中から異なる3個の整数を選ぶとき、次の問いに答えなさい。

(1) 3つの整数の積が奇数となるような選び方は何通りあるか。

(2) 3つの整数の和が奇数となるような選び方は何通りあるか。

問題78：x, x, x, y, y, z, z の7文字を横一列に並べるとき、次の問いに答えなさい。

(1) 並べ方の総数を求めよ。

(2) 2つの z が隣り合うような並べ方の数を求めよ。

問題79：縦5本、横4本の道がある。A地点からB地点まで遠回りしないで行く道順について答えなさい。C地点を経由する場合や経由しない場合を含め、以下の問いに答えなさい。

(1) 行き方の総数を求めよ。

(2) 地点Cを通って行く道順は何通りあるか。

(3) 地点Cを通らない道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

問題77：

(1) 3つの整数の積が奇数となるためには、3つとも奇数でなければなりません。1から25までの奇数は13個あります。したがって、13個から3個を選ぶ組み合わせを計算します。

$_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$

(2) 3つの整数の和が奇数となるためには、次の2つのパターンがあります。

- 奇数3つ

- 奇数1つと偶数2つ

1から25までの奇数は13個、偶数は12個です。

- 奇数3つの場合：$_{13}C_3 = 286$ (上記参照)

- 奇数1つと偶数2つの場合：$_{13}C_1 \times _{12}C_2 = 13 \times \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 13 \times 66 = 858$

したがって、合計は $286 + 858 = 1144$

問題78：

(1) 7文字を並べる総数は、同じ文字があるため、多項係数を使って計算します。

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \times 6 = 420 \times 2 = 840 / 2 = 420$

$7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 210$

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{5040}{24} = 210$

(2) 2つのzをまとめて1つの文字と考えると、並べる文字は x, x, x, y, y, (zz) の6個です。

$\frac{6!}{3!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 6 \times 5 \times 2 = 60$

問題79：

(1) AからBまで行くには、右に3回、上に4回移動する必要があります。したがって、7回の移動のうち、右に3回を選ぶ組み合わせを計算します。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

(2) AからCまで行くには、右に1回、上に2回移動する必要があります。CからBまで行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

AからCまでの経路数：$_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

CからBまでの経路数：$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、AからCを経由してBまでの経路数は $3 \times 6 = 18$

(3) AからBまでの総経路数から、Cを経由する経路数を引きます。

したがって、Cを通らない経路数は $35 - 18 = 17$

3. 最終的な答え

問題77：

(1) 286通り

(2) 1144通り

問題78：

(1) 210通り

(2) 60通り

問題79：

(1) 35通り

(2) 18通り

(3) 17通り