2つのサイコロを同時に投げたとき、以下の確率を求めます。 (1) 目の和が7になる確率 (2) 目の和が9以上になる確率 (3) 目の積が偶数になる確率

## 問題80

1. 問題の内容

2つのサイコロを同時に投げたとき、以下の確率を求めます。

(1) 目の和が7になる確率

(2) 目の和が9以上になる確率

(3) 目の積が偶数になる確率

2. 解き方の手順

(1) 目の和が7になる場合

全ての目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りです。

和が7になるのは (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) の6通りです。

したがって、確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ です。

(2) 目の和が9以上になる場合

和が9になるのは (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) の4通り

和が10になるのは (4,6), (5,5), (6,4) の3通り

和が11になるのは (5,6), (6,5) の2通り

和が12になるのは (6,6) の1通り

合計 4+3+2+1 = 10通り

したがって、確率は $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ です。

(3) 目の積が偶数になる場合

目の積が奇数になるのは、両方とも奇数の場合です。

奇数の目は1, 3, 5 の3種類なので、両方とも奇数になる確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ です。

したがって、少なくともどちらかが偶数であれば積は偶数になるので、その確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{5}{18}$

(3) $\frac{3}{4}$

## 問題81

1. 問題の内容

a, b, c, d, e, f の文字が書かれた6枚のカードを横一列に並べるとき、以下の確率を求めます。

(1) aとbが両端にくる確率

(2) a, b, c が隣り合って並ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) aとbが両端にくる場合

全体の並べ方は $6! = 720$ 通りです。

aとbが両端にくるのは、aが左端でbが右端の場合と、bが左端でaが右端の場合の2通りがあります。

残りの4つの文字 c, d, e, f の並べ方は $4! = 24$ 通りです。

したがって、aとbが両端にくる並べ方は $2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$ 通りです。

確率は $\frac{48}{720} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ です。

(2) a, b, c が隣り合って並ぶ場合

a, b, c をひとまとめにして、Xとします。

X, d, e, f の4つの並べ方は $4! = 24$ 通りです。

a, b, c の並び方は $3! = 6$ 通りです。

したがって、a, b, c が隣り合って並ぶ並べ方は $4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$ 通りです。

確率は $\frac{144}{720} = \frac{1}{5}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15}$

(2) $\frac{1}{5}$

## 問題82

1. 問題の内容

男子A, B, C, 女子D, E, F, Gの7人が横一列に並ぶとき、以下の確率を求めます。

(1) AとBが両端にくる確率

(2) 男子が両端にくる確率

(3) 女子4人 D, E, F, G が隣り合って並ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) AとBが両端にくる場合

全体の並び方は $7! = 5040$ 通りです。

AとBが両端にくるのは、Aが左端でBが右端の場合と、Bが左端でAが右端の場合の2通りです。

残りの5人の並べ方は $5! = 120$ 通りです。

したがって、AとBが両端にくる並べ方は $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$ 通りです。

確率は $\frac{240}{5040} = \frac{24}{504} = \frac{1}{21}$ です。

(2) 男子が両端にくる場合

両端に男子が来る並び方を考えます。両端にはA,B,Cのいずれかが来るので、その選び方は $3 \times 2 = 6$ 通りです。残りの5人の並べ方は $5! = 120$ 通りです。

したがって、男子が両端にくる並べ方は $6 \times 120 = 720$ 通りです。

確率は $\frac{720}{5040} = \frac{72}{504} = \frac{1}{7}$ です。

(3) 女子4人 D, E, F, G が隣り合って並ぶ場合

女子4人D, E, F, GをひとまとめにしてXとします。

A, B, C, Xの4つの並べ方は $4! = 24$ 通りです。

女子4人の並び方は $4! = 24$ 通りです。

したがって、女子4人が隣り合って並ぶ並べ方は $4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$ 通りです。

確率は $\frac{576}{5040} = \frac{24}{210} = \frac{4}{35}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{21}$

(2) $\frac{1}{7}$

(3) $\frac{4}{35}$

## 問題83

1. 問題の内容

男子A, B, 女子C, D, E, F, Gの7人から3人の代表を選ぶとき、以下の確率を求めます。

(1) 男子Aが代表に入る確率

(2) 男子A, 女子Dが代表に入る確率

(3) 女子だけが代表に入る確率

2. 解き方の手順

(1) 男子Aが代表に入る場合

7人から3人を選ぶ組み合わせの総数は ${}_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通りです。

Aが代表に入るとき、残りの2人は6人から選ぶので、${}_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

確率は $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$ です。

(2) 男子A, 女子Dが代表に入る場合

AとDが代表に入るとき、残りの1人は5人から選ぶので、${}_5C_1 = 5$ 通りです。

確率は $\frac{5}{35} = \frac{1}{7}$ です。

(3) 女子だけが代表に入る場合

女子5人から3人を選ぶので、${}_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通りです。

確率は $\frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{7}$

(2) $\frac{1}{7}$

(3) $\frac{2}{7}$

## 問題84

1. 問題の内容

A, B, Cの3人でじゃんけんを1回するとき、以下の確率を求めます。

(1) Aがグーで1人勝ちする確率

(2) 1人だけ勝つ確率

(3) 2人が勝つ確率

2. 解き方の手順

(1) Aがグーで1人勝ちする場合

Aがグーを出し、BとCがチョキを出す必要があります。

それぞれの手の出し方は3通りなので、全体で $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

Aがグーで1人勝ちするのは1通りです。

確率は $\frac{1}{27}$ です。

(2) 1人だけ勝つ確率

Aだけが勝つ、Bだけが勝つ、Cだけが勝つ場合の3通りがあります。

それぞれの人が1人勝ちする確率は同じなので、

$3 \times \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ です。

(3) 2人が勝つ確率

2人が勝つのは、3人中2人の選び方が ${}_3C_2 = 3$ 通りです。

例えば、AとBが勝つ場合は、AとBが同じ手を出し、Cが負ける手を出す必要があります。

AとBがグーを出すとき、Cはチョキを出します。

AとBがチョキを出すとき、Cはパーを出します。

AとBがパーを出すとき、Cはグーを出します。

つまり、各組み合わせに対して、3通りの手の出し方があります。

従って、2人が勝つ場合は、$3 \times 3 = 9$ 通りです。

確率は $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{1}{9}$

(3) $\frac{1}{3}$