与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - y^2 + x + 5y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の項と定数項をまとめ、$y$ の項をまとめることを考えます。

$x^2 + x$ と $-y^2 + 5y - 6$ に分けてみます。

次に、$-y^2 + 5y - 6$ を因数分解します。

$-y^2 + 5y - 6 = -(y^2 - 5y + 6) = -(y-2)(y-3)$ となります。

ここで、与えられた式を以下のように書き換えます。

$x^2 - y^2 + x + 5y - 6 = x^2 + x - (y^2 - 5y + 6)$

$= x^2 + x - (y-2)(y-3)$

次に、$x^2 + x$ を $x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$ と変形し、平方完成を試みますが、うまくいきません。

与式を、$x$ についての二次式とみて整理してみます。

$x^2 + x + ( -y^2 + 5y - 6)$

$= x^2 + x - (y-2)(y-3)$

解の公式を使うと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(y-2)(y-3)}}{2}$

$= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4(y^2 - 5y + 6)}}{2}$

$= \frac{-1 \pm \sqrt{4y^2 - 20y + 25}}{2}$

$= \frac{-1 \pm \sqrt{(2y-5)^2}}{2}$

$= \frac{-1 \pm (2y-5)}{2}$

したがって、

$x = \frac{-1 + 2y - 5}{2} = \frac{2y - 6}{2} = y - 3$

または

$x = \frac{-1 - 2y + 5}{2} = \frac{-2y + 4}{2} = -y + 2$

よって、

$x - (y-3) = x - y + 3 = 0$ または $x - (-y+2) = x + y - 2 = 0$

したがって、$x^2 + x - (y-2)(y-3) = (x-y+3)(x+y-2)$

3. 最終的な答え

$(x - y + 3)(x + y - 2)$