与えられた定積分 $I$ の値を求めます。 $I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分 $I$ の値を求めます。

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$

2. 解き方の手順

この積分は、パラメータを導入して解くことができます。

$I(a) = \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$ と定義します。ここで $a > 0$ とします。

両辺を $a$ で微分します。

$\frac{dI(a)}{da} = \frac{d}{da} \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx$

積分記号下での微分を行うと、

$\frac{dI(a)}{da} = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} \left( e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} \right) dx = \int_{0}^{\infty} -x e^{-ax} \frac{\sin(x)}{x} dx = - \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \sin(x) dx$

ここで、$\int e^{-ax} \sin(x) dx$ を部分積分で計算します。

$u = e^{-ax}$, $dv = \sin(x) dx$ とすると、 $du = -a e^{-ax} dx$, $v = -\cos(x)$

$\int e^{-ax} \sin(x) dx = -e^{-ax} \cos(x) - \int a e^{-ax} \cos(x) dx$

さらに、$u = e^{-ax}$, $dv = \cos(x) dx$ とすると、 $du = -a e^{-ax} dx$, $v = \sin(x)$

$\int e^{-ax} \cos(x) dx = e^{-ax} \sin(x) + \int a e^{-ax} \sin(x) dx$

したがって、

$\int e^{-ax} \sin(x) dx = -e^{-ax} \cos(x) - a e^{-ax} \sin(x) - a^2 \int e^{-ax} \sin(x) dx$

$(1+a^2) \int e^{-ax} \sin(x) dx = -e^{-ax} \cos(x) - a e^{-ax} \sin(x)$

$\int e^{-ax} \sin(x) dx = \frac{-e^{-ax} (\cos(x) + a \sin(x))}{1+a^2}$

よって、

$\frac{dI(a)}{da} = - \left[ \frac{-e^{-ax} (\cos(x) + a \sin(x))}{1+a^2} \right]_{0}^{\infty}$

$\frac{dI(a)}{da} = - \frac{1}{1+a^2}$

両辺を $a$ で積分します。

$I(a) = \int - \frac{1}{1+a^2} da = - \arctan(a) + C$

$a \to \infty$ のとき、$I(a) \to 0$ なので、

$0 = - \arctan(\infty) + C = - \frac{\pi}{2} + C$

したがって、$C = \frac{\pi}{2}$

$I(a) = - \arctan(a) + \frac{\pi}{2}$

求める積分は、$I(0)$ なので、

$I(0) = - \arctan(0) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$