$f(a) = a^2 - 3a + 2$ です。

## 問題の内容

次の曲線上にない点から曲線に引いた接線の方程式と接点の座標を求めます。

(1) $f(x) = x^2 - 3x + 2$, 点 $(1, -1)$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 点 $(1, 14)$

## 解き方の手順

** (1) $f(x) = x^2 - 3x + 2$, 点 $(1, -1)$**

1. 接点の座標を $(a, f(a))$ とおきます。

$f(a) = a^2 - 3a + 2$ です。

2. 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2x - 3$

したがって、$f'(a) = 2a - 3$ です。

3. 接線の方程式を求めます。

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

$y - (a^2 - 3a + 2) = (2a - 3)(x - a)$

4. 接線が点 $(1, -1)$ を通ることから、$x = 1$, $y = -1$ を代入します。

$-1 - (a^2 - 3a + 2) = (2a - 3)(1 - a)$

$-1 - a^2 + 3a - 2 = 2a - 2a^2 - 3 + 3a$

$-a^2 + 3a - 3 = -2a^2 + 5a - 3$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

$a = 0, 2$

5. $a = 0$ のとき:

$f(0) = 0^2 - 3(0) + 2 = 2$

$f'(0) = 2(0) - 3 = -3$

接点 $(0, 2)$

接線 $y - 2 = -3(x - 0)$

$y = -3x + 2$

6. $a = 2$ のとき:

$f(2) = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$f'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$

接点 $(2, 0)$

接線 $y - 0 = 1(x - 2)$

$y = x - 2$

** (2) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 点 $(1, 14)$**

1. 接点の座標を $(a, f(a))$ とおきます。

$f(a) = a^3 - 3a^2$

2. 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

したがって、$f'(a) = 3a^2 - 6a$ です。

3. 接線の方程式を求めます。

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

$y - (a^3 - 3a^2) = (3a^2 - 6a)(x - a)$

4. 接線が点 $(1, 14)$ を通ることから、$x = 1$, $y = 14$ を代入します。

$14 - (a^3 - 3a^2) = (3a^2 - 6a)(1 - a)$

$14 - a^3 + 3a^2 = 3a^2 - 3a^3 - 6a + 6a^2$

$14 - a^3 + 3a^2 = -3a^3 + 9a^2 - 6a$

$2a^3 - 6a^2 + 6a + 14 = 0$

$a^3 - 3a^2 + 3a + 7 = 0$

5. $a = -1$ を試すと、

$(-1)^3 - 3(-1)^2 + 3(-1) + 7 = -1 - 3 - 3 + 7 = 0$

よって、$a = -1$ は解の一つです。

$(a + 1)(a^2 - 4a + 7) = 0$

6. $a^2 - 4a + 7 = 0$ の判別式は $D = (-4)^2 - 4(1)(7) = 16 - 28 = -12 < 0$ なので、実数解を持ちません。したがって、$a = -1$ のみが実数解です。

7. $a = -1$ のとき:

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4$

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$

接点 $(-1, -4)$

接線 $y - (-4) = 9(x - (-1))$

$y + 4 = 9(x + 1)$

$y = 9x + 9 - 4$

$y = 9x + 5$

## 最終的な答え

(1) 接線の方程式：$y = -3x + 2$ (接点 $(0, 2)$), $y = x - 2$ (接点 $(2, 0)$)

(2) 接線の方程式：$y = 9x + 5$ (接点 $(-1, -4)$)