放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ が与えられています。$C$ と $l$ の交点を $x$ 座標の小さい順に $A$, $B$ とします。 (1) 点 $A$, $B$ における $C$ の接線 $l_A$, $l_B$ の方程式を求めます。 (2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めます。 (3) $C$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めます。 (4) $l$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とします。$S$ を $S_1$, $S_2$ で表します。

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ が与えられています。$C$ と $l$ の交点を $x$ 座標の小さい順に $A$, $B$ とします。

(1) 点 $A$, $B$ における $C$ の接線 $l_A$, $l_B$ の方程式を求めます。

(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めます。

(3) $C$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めます。

(4) $l$, $l_A$, $l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とします。$S$ を $S_1$, $S_2$ で表します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$C$ と $l$ の交点 $A$, $B$ の $x$ 座標を求めます。

$x^2 - 2 = x + 4$ より $x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

したがって、$A$ の $x$ 座標は $-2$ で、$B$ の $x$ 座標は $3$ です。

$A(-2, 2)$, $B(3, 7)$

次に、$C$ の導関数を求めます。

$y' = 2x$

点 $A(-2, 2)$ における接線 $l_A$ の傾きは $2(-2) = -4$ なので、$l_A$ の方程式は

$y - 2 = -4(x + 2)$

$y = -4x - 8 + 2$

$y = -4x - 6$

点 $B(3, 7)$ における接線 $l_B$ の傾きは $2(3) = 6$ なので、$l_B$ の方程式は

$y - 7 = 6(x - 3)$

$y = 6x - 18 + 7$

$y = 6x - 11$

(2)

$C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_{-2}^{3} (x + 4 - (x^2 - 2)) dx = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 6x]_{-2}^{3}$

$S_1 = (-\frac{1}{3}(27) + \frac{1}{2}(9) + 18) - (-\frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) - 12)$

$S_1 = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12)$

$S_1 = (9 + \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 10) = 9 + \frac{9}{2} - \frac{8}{3} + 10$

$S_1 = 19 + \frac{27 - 16}{6} = 19 + \frac{11}{6} = \frac{114 + 11}{6} = \frac{125}{6}$

(3)

$l_A$ と $l_B$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$-4x - 6 = 6x - 11$

$10x = 5$

$x = \frac{1}{2}$

交点の $y$ 座標は $y = -4(\frac{1}{2}) - 6 = -2 - 6 = -8$

交点は $(\frac{1}{2}, -8)$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (x^2 - 2 - (-4x - 6)) dx + \int_{1/2}^{3} (x^2 - 2 - (6x - 11)) dx$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (x^2 + 4x + 4) dx + \int_{1/2}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx$

$S_2 = [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x]_{-2}^{1/2} + [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x]_{1/2}^{3}$

$S_2 = (\frac{1}{24} + \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) + (9 - 27 + 27) - (\frac{1}{24} - \frac{3}{4} + \frac{9}{2})$

$S_2 = \frac{1 + 12 + 48}{24} + \frac{8}{3} + 9 - (\frac{1 - 18 + 108}{24})$

$S_2 = \frac{61}{24} + \frac{64}{24} + 9 - \frac{91}{24} = \frac{34}{24} + 9 = \frac{17}{12} + \frac{108}{12} = \frac{125}{12}$

(4)

$l$ と $l_A$ の交点の $x$ 座標は $x + 4 = -4x - 6$ より $5x = -10$, $x = -2$, 交点 $A(-2, 2)$

$l$ と $l_B$ の交点の $x$ 座標は $x + 4 = 6x - 11$ より $5x = 15$, $x = 3$, 交点 $B(3, 7)$

$S = \frac{1}{2} |(-2(7 + 8) + 3(-8 - 2) + \frac{1}{2}(2 - 7))|$

$S = \frac{1}{2} |30 + (-30) - \frac{5}{2}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} = \frac{25}{4}$

$S_1 = \frac{125}{6}$

$S_2 = \frac{125}{12}$

$S = \frac{25}{4} = \frac{125}{6} - \frac{125}{12} = S_1 - S_2$

3. 最終的な答え

(1) $l_A: y = -4x - 6$

$l_B: y = 6x - 11$

1: -4

2: -6

4: 6

5: 1

6: 1

(2) $S_1 = \frac{125}{6}$

7: 125

8: 5

9:

10: 6

(3) $S_2 = \frac{125}{12}$

7: 125

8: 5

9:

11: 1

12: 2

(4) $S = S_1 - S_2$

13: S_1 - S_2