実数 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) に関する次の不等式を解く。 $$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

1. 問題の内容

実数 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) に関する次の不等式を解く。

$$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形する。

$$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

$$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta - \frac{3}{4} \ge 0$$

両辺に $\frac{1}{4}$ を足し、$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$とすると

$$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta - \frac{1}{2} \ge -\frac{1}{4}$$

ここで、三角関数の積和の公式を用いる。

$$\cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a \sin b$$

したがって、$\sin a \sin b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$

これを用いて、

$$\sin 3\theta \sin \theta = \frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta)$$

元の不等式に戻ると

$$\sin^2 3\theta - \frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

$$1 - \cos^2 3\theta - \frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) + 1 - \cos^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

$$2 - (\cos^2 3\theta + \cos^2 \theta) - \frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) \ge \frac{3}{4}$$

ここで、

$$(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin\theta)^2 = \sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \frac{1}{4} \sin^2 \theta$$

与えられた不等式に当てはめると

$$(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin\theta)^2 + \frac{3}{4} \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

元の式を変形する

$$\sin^2 3\theta - \sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

両辺に $\frac{1}{4}$ を足すと

$$(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta)^2 + \frac{3}{4}\sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

$$\frac{1}{4} (2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 + \frac{3}{4}\sin^2 \theta \ge \frac{3}{4}$$

$$(2\sin 3\theta - \sin \theta)^2 + 3\sin^2 \theta \ge 3$$

ここで、$0 \le \theta \le \pi$ であることに注意する。

$$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$$

$$2\sin 3\theta - \sin \theta = 2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - \sin \theta = 5\sin \theta - 8\sin^3 \theta$$

よって

$$(5\sin \theta - 8\sin^3 \theta)^2 + 3\sin^2 \theta \ge 3$$

$$\sin^2 \theta(5 - 8\sin^2 \theta)^2 + 3\sin^2 \theta \ge 3$$

$$\sin^2 \theta((5 - 8\sin^2 \theta)^2 + 3) \ge 3$$

$\theta = \frac{\pi}{2}$のとき、$\sin \theta = 1$であり、

$$(5 - 8)^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \ge 3$$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$は解の一つである。

$\sin^2 \theta = 1$のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$.

$\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$のとき、 $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

$\theta = \frac{\pi}{6}$を代入すると、$\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$$(\frac{1}{2})^2 + \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} < \frac{3}{4}$$

したがって$\theta = \frac{\pi}{6}$は解ではない。

不等式は $(\sin 3\theta - \frac{1}{2}\sin \theta)^2 \ge \frac{3}{4}(1 - \sin^2 \theta)$

$\theta = \frac{\pi}{2}$.

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}$