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次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{x^2+x}$

解析学極限関数の極限無限大
2025/6/12

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→∞5x−1x2+x\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{x^2+x}

2. 解き方の手順

極限を求めるために、分子と分母を xx の最高次数である x2x^2 で割ります。
lim⁡x→∞5x−1x2+x=lim⁡x→∞5xx2−1x2x2x2+xx2\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{x^2+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}}
=lim⁡x→∞5x−1x21+1x= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}
xx が無限大に近づくとき、5x\frac{5}{x}, 1x2\frac{1}{x^2}, 1x\frac{1}{x} は 0 に近づきます。
lim⁡x→∞5x−1x21+1x=0−01+0=01=0\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{0-0}{1+0} = \frac{0}{1} = 0

3. 最終的な答え

0

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