定積分 $\int_1^4 x \log x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^4 x \log x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$\log x$ を $u$、$x$ を $v'$ とおくと、

$u' = \frac{1}{x}$、 $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u v' \, dx = u v - \int u' v \, dx$ を用いると、

$\int_1^4 x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^4 - \int_1^4 \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} \, dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^4 - \int_1^4 \frac{x}{2} \, dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_1^4 - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^4$

$= \left( \frac{4^2}{2} \log 4 - \frac{1^2}{2} \log 1 \right) - \left( \frac{4^2}{4} - \frac{1^2}{4} \right)$

$= \left( 8 \log 4 - 0 \right) - \left( 4 - \frac{1}{4} \right)$

$= 8 \log 4 - \frac{15}{4}$

$\log 4 = \log 2^2 = 2 \log 2$ より

$= 16 \log 2 - \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

$16 \log 2 - \frac{15}{4}$