自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ の部分集合 $C_1$ と $C_2$ をそれぞれ $C_1 = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ は } 2 \text{ の倍数} \}$、 $C_2 = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ は } 3 \text{ の倍数} \}$ と定める。このとき、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つかどうか判定する。ただし、$f$ は何らかの写像を表す。

1. 問題の内容

自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ の部分集合 $C_1$ と $C_2$ をそれぞれ $C_1 = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ は } 2 \text{ の倍数} \}$、 $C_2 = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ は } 3 \text{ の倍数} \}$ と定める。このとき、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つかどうか判定する。ただし、$f$ は何らかの写像を表す。

2. 解き方の手順

まず、$C_1 \cap C_2$ を求める。$C_1$ は2の倍数の集合、$C_2$ は3の倍数の集合なので、$C_1 \cap C_2$ は2の倍数かつ3の倍数、つまり6の倍数の集合である。

$C_1 \cap C_2 = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ は } 6 \text{ の倍数} \}$

次に、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つかどうかを考える。

一般に、$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ は成り立つが、$f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)$ が常に成り立つとは限らない。

$y \in f(C_1) \cap f(C_2)$ と仮定する。このとき、$y \in f(C_1)$ かつ $y \in f(C_2)$ である。

したがって、ある $n_1 \in C_1$ が存在して $f(n_1) = y$ であり、ある $n_2 \in C_2$ が存在して $f(n_2) = y$ である。

$n_1$ は2の倍数であり、$n_2$ は3の倍数である。

$y \in f(C_1 \cap C_2)$ であるためには、ある $n \in C_1 \cap C_2$ が存在して $f(n) = y$ である必要がある。すなわち、$n$ は6の倍数である必要がある。

もし写像 $f$ が単射であれば、$f(n_1) = f(n_2) = y$ より $n_1 = n_2$ である。このとき、$n_1 = n_2$ は2の倍数かつ3の倍数なので、6の倍数である。したがって、$y \in f(C_1 \cap C_2)$ となり、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つ。

しかし、$f$ が単射でない場合は、$n_1 \neq n_2$ であっても $f(n_1) = f(n_2) = y$ となる場合がある。この場合、常に $y \in f(C_1 \cap C_2)$ となるとは限らない。

例えば、$f(n) = 1$ となる定数関数を考える。このとき、$f(C_1) = \{1\}$、$f(C_2) = \{1\}$ なので、$f(C_1) \cap f(C_2) = \{1\}$ である。

一方、$C_1 \cap C_2$ は6の倍数の集合であり、$f(C_1 \cap C_2) = \{1\}$ である。

この場合は、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つ。

$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ は一般には成り立たないが、成り立つ場合もあるので、問題文だけでは判断できない。問題文には$f$に関する情報が足りないので、成り立たない例を挙げることは難しい。

しかし、$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$は常に成り立つので、$f(C_1 \cap C_2) \subset f(C_1) \cap f(C_2)$は成り立つ。

したがって、$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$ が成り立つ場合とそうでない場合があるため、問題文からは一意に判断できない。

しかし、問題文は「成り立つかどうか判定し、成り立つ場合は〇を、そうでない場合は×を選択せよ」とあるので、反例が存在すれば×を選ぶべきである。一般に$f(C_1) \cap f(C_2) \subset f(C_1 \cap C_2)$は成り立たないので、×を選択する。

3. 最終的な答え

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