全体集合 $U$ と、その部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 60$, $n(A) = 25$, $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 8$ このとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(A \cup B)$ (2) $n(\overline{A})$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(A \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ と、その部分集合 $A, B$ について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 60$, $n(A) = 25$, $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 8$

このとき、以下の個数を求めます。

(1) $n(A \cup B)$

(2) $n(\overline{A})$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(A \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cup B)$ を求める。

$A \cup B$ の要素の個数は、和集合の公式を用いて計算できます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cup B) = 25 + 16 - 8 = 33$

(2) $n(\overline{A})$ を求める。

$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A$ の要素を除いたものです。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

与えられた値を代入すると、

$n(\overline{A}) = 60 - 25 = 35$

(3) $n(\overline{B})$ を求める。

$\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $B$ の要素を除いたものです。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

与えられた値を代入すると、

$n(\overline{B}) = 60 - 16 = 44$

(4) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を除いたものです。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

(1) で求めた $n(A \cup B) = 33$ を用いて、

$n(\overline{A \cup B}) = 60 - 33 = 27$

(5) $n(A \cap \overline{B})$ を求める。

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれるが $B$ には含まれない要素の集合です。

これは $A$ から $A \cap B$ の要素を除いたものと考えることができます。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

与えられた値を代入すると、

$n(A \cap \overline{B}) = 25 - 8 = 17$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B) = 33$

(2) $n(\overline{A}) = 35$

(3) $n(\overline{B}) = 44$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 27$

(5) $n(A \cap \overline{B}) = 17$