次の2つの不等式を解きます。 (1) $|2x-5|<x+3$ (2) $|x^2-4|<1$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解きます。

(1) $|2x-5|<x+3$

(2) $|x^2-4|<1$

2. 解き方の手順

(1) $|2x-5|<x+3$ を解く。

まず、絶対値の中身の符号で場合分けをします。

(i) $2x-5 \ge 0$ つまり $x \ge \frac{5}{2}$ のとき

$|2x-5| = 2x-5$ なので、不等式は $2x-5 < x+3$ となります。

これを解くと、 $x < 8$ となります。

したがって、$\frac{5}{2} \le x < 8$ となります。

(ii) $2x-5 < 0$ つまり $x < \frac{5}{2}$ のとき

$|2x-5| = -(2x-5) = -2x+5$ なので、不等式は $-2x+5 < x+3$ となります。

これを解くと、 $3x > 2$ より $x > \frac{2}{3}$ となります。

したがって、$\frac{2}{3} < x < \frac{5}{2}$ となります。

(i), (ii) より、$\frac{2}{3} < x < 8$ が解となります。

(2) $|x^2-4|<1$ を解く。

$-1 < x^2 - 4 < 1$

これは次の2つの不等式に分解できます。

$x^2 - 4 > -1$ かつ $x^2 - 4 < 1$

$x^2 - 4 > -1$ より $x^2 > 3$ となります。

したがって、$x < -\sqrt{3}$ または $x > \sqrt{3}$ となります。

$x^2 - 4 < 1$ より $x^2 < 5$ となります。

したがって、$-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ となります。

これらを組み合わせると、$-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ または $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} < x < 8$

(2) $-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ または $\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$