次の3つの式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の3つの式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ を利用する。

$7+2\sqrt{10} = 5 + 2 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$

したがって、

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$を利用する。

$12-2\sqrt{27} = 9 + 3 - 2\sqrt{9 \cdot 3} = (\sqrt{9}-\sqrt{3})^2 = (3-\sqrt{3})^2$

したがって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}=\sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = |3-\sqrt{3}|=3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

$\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

$4+2\sqrt{3} = 3 + 1 + 2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{3}+1)^2$

したがって、

$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$