赤玉5個、白玉4個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めます。 (1) 赤玉だけが出る確率 (2) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率 (3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率 (4) 3個とも同じ色が出る確率

はい、承知いたしました。画像に含まれる問題のうち、問題番号87を解きます。

1. 問題の内容

赤玉5個、白玉4個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、次の確率を求めます。

(1) 赤玉だけが出る確率

(2) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

(4) 3個とも同じ色が出る確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す場合の総数を計算します。

これは、9個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_9 C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通りです。

(1) 赤玉だけが出る確率

赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、確率は$\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$となります。

(2) 赤玉が1個、白玉が2個出る確率

赤玉5個から1個を選ぶ組み合わせは $_5 C_1 = 5$通り、白玉4個から2個を選ぶ組み合わせは $_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、確率は$\frac{5 \times 6}{84} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$となります。

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

これは、3個とも白玉が出る確率の余事象として求められます。

3個とも白玉が出る確率は、白玉4個から3個を選ぶ組み合わせなので、 $_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$通りです。

したがって、確率は$\frac{4}{84} = \frac{1}{21}$となります。

求める確率は$1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$となります。

(4) 3個とも同じ色が出る確率

3個とも赤玉が出る確率は(1)で計算した$\frac{5}{42}$です。

3個とも白玉が出る確率は、上で計算した$\frac{1}{21} = \frac{2}{42}$です。

したがって、求める確率は$\frac{5}{42} + \frac{2}{42} = \frac{7}{42} = \frac{1}{6}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{42}$

(2) $\frac{5}{14}$

(3) $\frac{20}{21}$

(4) $\frac{1}{6}$