赤玉5個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻してから、もう一度1個取り出す。次の確率を求めよ。 (1) 2個とも白玉が出る確率 (2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率 (3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

## 問題89

1. 問題の内容

赤玉5個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻してから、もう一度1個取り出す。次の確率を求めよ。

(1) 2個とも白玉が出る確率

(2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 2個とも白玉が出る確率

1回目の試行で白玉が出る確率は $\frac{4}{9}$。2回目の試行も同様に$\frac{4}{9}$。

したがって、2個とも白玉が出る確率は

$P(白,白) = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9}$

(2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率

赤玉、白玉の順に出る確率と、白玉、赤玉の順に出る確率の和。

$P(赤,白) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9}$

$P(白,赤) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9}$

したがって、赤玉が1個、白玉が1個出る確率は

$P(赤1, 白1) = P(赤,白) + P(白,赤) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} + \frac{4}{9} \times \frac{5}{9}$

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率

全体から2個とも白玉が出る確率を引けばよい。

全体は1なので、

$P(少なくとも1個赤) = 1 - P(白,白)$

3. 最終的な答え

(1) 2個とも白玉が出る確率：$\frac{16}{81}$

(2) 赤玉が1個、白玉が1個出る確率：$\frac{40}{81}$

(3) 少なくとも1個は赤玉が出る確率：$\frac{65}{81}$

## 問題90

1. 問題の内容

1個のサイコロを4回投げるとき、次の確率を求めよ。

(1) 4回とも6の目が出る確率

(2) 6の目が3回出る確率

(3) 少なくとも1回は6の目が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 4回とも6の目が出る確率

1回の試行で6の目が出る確率は $\frac{1}{6}$。4回とも6の目が出る確率は

$P(6,6,6,6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$

(2) 6の目が3回出る確率

4回のうち3回6の目が出て、1回6以外の目が出る確率。

6の目が出る組み合わせは ${}_4C_3$ 通り。6の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、6以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$。

$P(6が3回) = {}_4C_3 \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^1$

(3) 少なくとも1回は6の目が出る確率

全体から1度も6の目が出ない確率を引けばよい。

6が出ない確率は$\frac{5}{6}$なので、

$P(少なくとも1回6) = 1 - (\frac{5}{6})^4$

3. 最終的な答え

(1) 4回とも6の目が出る確率：$\frac{1}{1296}$

(2) 6の目が3回出る確率：$\frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

(3) 少なくとも1回は6の目が出る確率：$\frac{671}{1296}$

## 問題91

1. 問題の内容

数直線上で、原点Oを出発点として点Pを次のように動かす。さいころを投げて4以上の目が出た場合は右へ1だけ進み、3以下の目が出た場合は左へ1だけ進むものとする。このとき、次の確率を求めよ。

(1) 1回投げたとき右へ1だけ進む確率

(2) 1回投げたとき左へ1だけ進む確率

(3) さいころを4回投げて点Pが点Q(4)の位置にいる確率

(4) さいころを6回投げて点Pが点(-2)の位置にいる確率

2. 解き方の手順

(1) 1回投げたとき右へ1だけ進む確率

サイコロの目が4, 5, 6が出ればよいので、$\frac{3}{6}$。

(2) 1回投げたとき左へ1だけ進む確率

サイコロの目が1, 2, 3が出ればよいので、$\frac{3}{6}$。

(3) さいころを4回投げて点Pが点Q(4)の位置にいる確率

4回とも右へ進む必要がある。右へ進む確率は$\frac{1}{2}$。

$P(4回右) = (\frac{1}{2})^4$

(4) さいころを6回投げて点Pが点(-2)の位置にいる確率

右へ進む回数を$r$、左へ進む回数を$l$とする。

$r + l = 6$

$r - l = -2$

これを解くと、$r = 2$, $l = 4$。

6回中2回右に進み、4回左に進む確率。

$P(右2, 左4) = {}_6C_2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^4$

3. 最終的な答え

(1) 1回投げたとき右へ1だけ進む確率：$\frac{1}{2}$

(2) 1回投げたとき左へ1だけ進む確率：$\frac{1}{2}$

(3) さいころを4回投げて点Pが点Q(4)の位置にいる確率：$\frac{1}{16}$

(4) さいころを6回投げて点Pが点(-2)の位置にいる確率：$\frac{15}{64}$