4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

4人の男子A, B, C, Dと3人の女子P, Q, Rがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように3つのグループを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、グループの人数構成を考えます。3つのグループに少なくとも男子1人、女子1人が含まれる必要があるので、グループの人数構成は以下のいずれかになります。

* (1人, 1人, 5人)

* (1人, 2人, 4人)

* (1人, 3人, 3人)

* (2人, 2人, 3人)

ここで、男子の人数は4人、女子の人数は3人であることに注意して、各グループ構成において条件を満たすように振り分ける組み合わせを考えます。

場合分けを行います。

(1) (1人, 1人, 5人)のグループ構成：

この場合、5人のグループは男子3人、女子2人である必要があります。残りの2つのグループは男子1人、女子1人になります。

男子の分け方は$_{4}C_{3} = 4$通り。女子の分け方は$_{3}C_{2} = 3$通り。

残りの男子1人、女子1人はそれぞれ1通り。したがって$4 \times 3 = 12$通り。

(2) (1人, 2人, 4人)のグループ構成：

(i)4人のグループが男子3人、女子1人の場合：

男子の分け方は$_{4}C_{3} = 4$通り。女子の分け方は$_{3}C_{1} = 3$通り。

残りの男子1人を1人のグループへ、女子2人を2人のグループへ入れると1通り。

$4 \times 3 = 12$通り。

(ii)4人のグループが男子2人、女子2人の場合：

男子の分け方は$_{4}C_{2} = 6$通り。女子の分け方は$_{3}C_{2} = 3$通り。

残りの男子2人から1人を選び、残りの女子1人と合わせて2人のグループを作り、残った1人ずつで1人のグループを作ると1通り。

$6 \times 3 = 18$通り。

(iii)4人のグループが男子1人、女子3人の場合：

男子の分け方は$_{4}C_{1} = 4$通り。女子の分け方は$_{3}C_{3} = 1$通り。

残りの男子3人から2人を選び、残りの女子0人と合わせて2人のグループを作ることはできないので、これは不適。

(i)と(ii)を足し合わせて、$12 + 18 = 30$通り。

ただし、(1人, 2人, 4人)のグループを並び替えることを考えると、$3! = 6$倍する必要はありません。なぜなら、各グループの人数が異なっているからです。

(3) (1人, 3人, 3人)のグループ構成：

3人のグループは男子2人女子1人である必要があります。男子1人女子2人のグループも存在します。

男子の分け方は$_{4}C_{2} \times _{2}C_{1}= 6 \times 2 = 12$通り。

女子の分け方は$_{3}C_{1} \times _{2}C_{2}= 3 \times 1 = 3$通り。

ただし、同じ3人のグループがあるので2!で割る必要があります。

$12 \times 3 / 2 = 18$通り。

(4) (2人, 2人, 3人)のグループ構成：

(i)3人のグループが男子2人、女子1人の場合：

男子の分け方は$_{4}C_{2}=6$通り。女子の分け方は$_{3}C_{1}=3$通り。残りの男子2人を分け、残りの女子2人を分けます。$_{2}C_{2} = 1$通り。

2人のグループが2つできるので、グループの区別をなくすために2!で割ると、$6 \times 3 / 2 = 9$通り

(ii)3人のグループが男子1人、女子2人の場合：

男子の分け方は$_{4}C_{1}=4$通り。女子の分け方は$_{3}C_{2}=3$通り。残りの男子3人を2人、1人に分け、残りの女子1人を2人のグループに入れることはできないので、これは不適。

(i)のみ考えると、$9$通り。

(1) + (2) + (3) + (4) = $12+30+18+9=69$

3. 最終的な答え

69通り