5人の男子A, B, C, D, Eと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように4つのグループを作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

5人の男子A, B, C, D, Eと4人の女子P, Q, R, Sがいる。男子、女子が少なくとも1人ずつ入るように4つのグループを作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、女子は4人なので、それぞれのグループに1人ずつ入る必要があります。

次に、男子5人を4つのグループに振り分ける方法を考えます。

男子の分け方として、以下の2パターンがあります。

(1) 1つのグループに男子が2人、他の3つのグループに男子が1人ずつ入る。

(2) 1つのグループに男子が3人、他の3つのグループのうち1つに男子が1人、残りの2つに男子が0人入る (これはありえない)。

上記(1)の場合を考えます。

まず、男子5人の中から2人を選ぶ組み合わせは ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

次に、残りの男子3人を3つのグループに割り当てる方法は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

したがって、男子の分け方は $10 \times 6 = 60$ 通りです。

女子は4人いるので、どのグループに誰を入れるか考える必要はありません (各グループに1人ずつ女子が入ることが決まっているため)。

したがって、グループ分けの方法は60通りとなります。

男子の分け方の別の考え方として、

まず、男子5人から1人を選び、そのグループに女子1人を入れることを4回繰り返します。

この選び方は ${}_5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通りです。

残った男子1人は、すでに男女がいる4つのグループのいずれかに入れることができます。これは4通りです。

しかし、これではグループ分けの順番を考慮しているため、重複があります。

4つのグループを区別しない場合、男子の分け方は以下のように考えられます。

4つのグループにそれぞれ女子を1人ずつ入れます。

まず男子を1人選び、いずれかの女子のグループに入れます。これは4通り。

次に男子を1人選び、いずれかの女子のグループに入れます。これは4通り。

これを5人全てに対して行います。すると $4^5$ 通りになります。

しかし、これではどのグループにも男子がいないというケースが除外できていません。

この問題の解法は包除原理を使うことになります。

まず、4つのグループに男子が入るか入らないかの2択なので $2^5$ になります。

しかし、全部のグループに男子が入らないケースを除外する必要があります。

各グループに少なくとも1人ずつ男女が入る必要があるので、女子の配置は一意に決まります。

男子の分け方を考えます。

男子のグループ分けの仕方は、

(1) 1グループに2人、残りの3グループに1人ずつ

(2) 1グループに3人、1グループに2人

(3) 1グループに4人、1グループに1人

(4) 1グループに5人

のいずれかです。

しかし、1グループに2人、残りの3グループに1人ずつの場合のみが条件を満たします。

この場合、5人から2人を選ぶ方法は ${}_5C_2 = 10$ 通りです。

残りの3人を3つのグループに振り分ける方法は $3! = 6$ 通りです。

したがって $10 \times 6 = 60$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

60通り