$(x+y)^7$ を展開しなさい。

1. 問題の内容

$(x+y)^7$ を展開しなさい。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理は次の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

今回の問題では、$a=x$, $b=y$, $n=7$ なので、

$(x+y)^7 = \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} x^{7-k}y^k$

となります。

$\binom{7}{k}$ を計算すると、以下のようになります。

$\binom{7}{0} = 1$

$\binom{7}{1} = 7$

$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$\binom{7}{4} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$

$\binom{7}{5} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 21$

$\binom{7}{6} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 7$

$\binom{7}{7} = 1$

したがって、

$(x+y)^7 = \binom{7}{0}x^7y^0 + \binom{7}{1}x^6y^1 + \binom{7}{2}x^5y^2 + \binom{7}{3}x^4y^3 + \binom{7}{4}x^3y^4 + \binom{7}{5}x^2y^5 + \binom{7}{6}x^1y^6 + \binom{7}{7}x^0y^7$

$= x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7$

3. 最終的な答え

$x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7$