問題は、$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ を計算し、分母を有理化することです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ を計算し、分母を有理化することです。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{2} + 1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$

分母を計算します。

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

分子を計算します。

$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 + 2\sqrt{2}$