与えられた式 $x^2y + xz^2 - xyz^2 - z^2$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。問題文に書かれている問題のうち、(2)の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2y + xz^2 - xyz^2 - z^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$x^2y + xz^2 - xyz^2 - z^2$

共通因数を見つけやすくするために、項の順序を入れ替えます。

$x^2y - xyz^2 + xz^2 - z^2$

それぞれの項から共通因数をくくり出します。まず、前半2項から $xy$ を、後半2項から $z^2$ をくくり出します。

$xy(x - z^2) + z^2(x - 1)$

これはうまくいきません。別の方法を試します。

$x^2y + xz^2 - xyz^2 - z^2$

この式を文字について整理します。$x$に着目して整理すると、

$xy(x - z^2) + z^2(x - 1)$

$z$に着目して整理すると、

$xz^2 - xyz^2 - z^2 + x^2y$

$= z^2(x - xy - 1) + x^2y$

これも簡単には因数分解できそうにありません。

別の方法で、与えられた式をよく見てみると、二乗の項とそうでない項が混在しています。そこで、項を組み合わせることで、共通因数を見つけやすくすることを考えます。

$x^2y - xyz^2 + xz^2 - z^2$

$= xy(x - z^2) + z^2(x-1)$

ここで最初の式をもう一度見直します。

$x^2 y + xz^2 - xyz^2 - z^2$

$= x^2y - xyz^2 + xz^2 - z^2$

$= xy(x - z^2) + z^2(x - 1)$

問題文にタイプミスがありそうです。

$x^3y + x^2 - xyz^2 - z^2$

という問題だった場合、以下のように解けます。

$x^3y + x^2 - xyz^2 - z^2 = x^2(xy+1) - z^2(xy+1) = (x^2 - z^2)(xy+1) = (x+z)(x-z)(xy+1)$

3. 最終的な答え

もし問題が $x^3y + x^2 - xyz^2 - z^2$ ならば、答えは $(x+z)(x-z)(xy+1)$ となります。