与えられた不等式を解きます。不等式は $3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz < 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解きます。不等式は $3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz < 0$ です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、

$3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz < 0$

と書けます。この不等式を因数分解することを試みます。まず、$x$ について整理すると、

$3x^2 + (2y + 5z)x - 2z^2 + 4yz < 0$

ここで、$x$ についての二次方程式 $3x^2 + (2y + 5z)x - 2z^2 + 4yz = 0$ の解を求めます。しかし、この二次方程式を簡単に解くことは難しいです。

不等式を次のように変形してみます。

$3x^2 + 2xy + 5xz - 2z^2 + 4yz < 0$

この式を因数分解することを試みます。しかし、簡単な因数分解は存在しません。

元の不等式は $3x^2 - 2z^2 + 4yz + 2xy + 5xz < 0$ です。

これを平方完成することを試みます。

まず、$x$ の項をまとめます。

$3(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{5}{3}xz) - 2z^2 + 4yz < 0$

$3(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{5}{3}xz + \frac{1}{9}y^2 + \frac{25}{36}z^2 + \frac{5}{9}yz) - \frac{1}{3}y^2 - \frac{25}{12}z^2 - \frac{5}{3}yz - 2z^2 + 4yz < 0$

$3(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z)^2 - \frac{1}{3}y^2 - \frac{49}{12}z^2 + \frac{7}{3}yz < 0$

$3(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z)^2 < \frac{1}{3}y^2 + \frac{49}{12}z^2 - \frac{7}{3}yz$

$3(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z)^2 < \frac{4y^2 + 49z^2 - 28yz}{12}$

$3(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z)^2 < \frac{4y^2 - 28yz + 49z^2}{12} = \frac{(2y - 7z)^2}{12}$

$36(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z)^2 < (2y - 7z)^2$

$6|x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z| < |2y - 7z|$

$-|2y - 7z| < 6(x + \frac{1}{3}y + \frac{5}{6}z) < |2y - 7z|$

$-|2y - 7z| < 6x + 2y + 5z < |2y - 7z|$

3. 最終的な答え

$-|2y - 7z| < 6x + 2y + 5z < |2y - 7z|$