放物線 $y = ax^2$ と直線 $y = 2x + 12$ が2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が3であるとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点Bの座標を求め、さらに三角形OABの面積を求める。 (3) 放物線C上に、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$ となるようにとる。 (i) 点P, Qの座標をそれぞれ求める。 (ii) 四角形APQBの面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ と直線 $y = 2x + 12$ が2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が3であるとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点Bの座標を求め、さらに三角形OABの面積を求める。

(3) 放物線C上に、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$ となるようにとる。

(i) 点P, Qの座標をそれぞれ求める。

(ii) 四角形APQBの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aのx座標が3なので、$y = 2x + 12$ に $x = 3$ を代入すると、$y = 2(3) + 12 = 18$。よって、点Aの座標は(3, 18)。

点Aは放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、(3, 18) を代入すると、$18 = a(3^2) = 9a$。

したがって、$a = 18/9 = 2$。

(2) 放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 2x + 12$ の交点を求めるために、連立方程式を解く。

$2x^2 = 2x + 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

$x = 3$ は点Aのx座標なので、点Bのx座標は $x = -2$。

$y = 2(-2) + 12 = -4 + 12 = 8$。

よって、点Bの座標は (-2, 8)。

三角形OABの面積を求める。点A(3, 18), B(-2, 8)

直線ABの方程式は $y = 2x + 12$。

原点Oから直線ABまでの距離dを求める。直線ABの方程式を一般形にすると、$2x - y + 12 = 0$。

$d = |2(0) - (0) + 12| / \sqrt{2^2 + (-1)^2} = 12 / \sqrt{5}$

線分ABの長さを求める。

$AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (18 - 8)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

三角形OABの面積は、(1/2) * AB * d = (1/2) * $5\sqrt{5}$ * (12 / $\sqrt{5}$) = (1/2) * 5 * 12 = 30

(3) (i) $\triangle OAP = \triangle OAB$ かつ $\triangle OBQ = \triangle OAB$ となる点P, Qを求める。

$\triangle OAP$ の面積は、$\triangle OAB$ の面積と等しいので30。

直線ABは $y = 2x + 12$。直線ABと平行で原点を通る直線は $y = 2x$。

Pは放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 2x$ の交点ではない方の点。

$2x^2 = 2x$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$x = 0$ は原点なので、点Pのx座標は1。

$y = 2(1) = 2$。

よって点Pは (1,2)。

Qは直線ABに関して点Oと反対側にあるので、$\vec{OQ} = -\vec{OP}$。

点Pの座標が (1,2) なので、点Qの座標は (-1,-2)。

四角形APQBは平行四辺形なので面積は、30 * 2 = 60

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) B(-2, 8), 三角形OABの面積は30

(3) (i) P(1, 2), Q(-1, -2)

(ii) 四角形APQBの面積は60